「要素」について

　私立 東京理科大学 2014年 第4問

rは2以上9以下の自然数とする．nをr以上の自然数として，次の条件を満たすn桁の自然数を考える．
(i)各位の数は1からrまでの数1,2,・・・,rのどれかである．
(ii)1,2,・・・,rのどの一つも必ずどこかの位に現れる．
このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数をrSnとおく．また，この集合のすべての要素の和をfr(n)とおく．
(1)r=2とする．
(i)2\ten・・・

　私立 立教大学 2014年 第2問

100以上200以下のすべての整数を全体集合Uとし，そのうち3の倍数の集合をA，5の倍数の集合をBとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)集合Aの要素の個数を求めよ．
(2)集合Aのすべての要素の和を求めよ．
(3)集合A∩Bの要素の個数を求めよ．
(4)集合A∩\overline{B}のすべての要素の和を求めよ．
(5)集合\overline{A∪B}のすべての要素の和を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第2問

2次正方行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})のうち，次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすもの全体の集合をMとする．
(i)a,b,c,dはすべて整数
(ii)b+c=0
(iii)a-b-d=0
またEを2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)行列A,BがともにMの要素であるとき，それらの積ABもMの要素であることを示せ．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b・・・

　国立 熊本大学 2013年 第1問

nを3以上の奇数として，次の集合を考える．
An={\;nC1,nC2,・・・,nC_{\frac{n-1}{2}}\;}
以下の問いに答えよ．
(1)A9のすべての要素を求め，それらの和を求めよ．
(2)nC_{\frac{n-1}{2}}がAn内の最大の数であることを示せ．
(3)An内の奇数の個数をmとする．mは奇数であることを示せ．

　私立 京都産業大学 2013年 第1問

以下の[]にあてはまる式または数値を入れよ．
(1)2x2+5xy-3y2-3x+5y-2を因数分解すると[ア]であり，\
a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)を因数分解すると[イ]である．
(2)1から100までの整数のうち，2の倍数全体の集合をA，3の倍数全体の集合をB，5の倍数全体の集合をCとする．A∪Bの要素の個数は[ウ]であり，(A∪B)∩Cの要素の個数は[エ]である．
(3)不等式3^{2x+1}+2・3x＞1を満たすxの値の範囲は[オ]である．
\・・・

　私立 広島修道大学 2013年 第1問

空欄[1]から[11]にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)30以下の自然数の集合を全体集合Uとし，Uの部分集合で3の倍数の集合をA，Uの部分集合で4の倍数の集合をBとする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，A∩B=[1]，\overline{A}∩B=[2]である．
(2)3個の数字0,1,2を，重複を許して並べてできる5桁の整数は[3]個ある．そのうち，0,1,2の3個の数字がすべて使われている整数は[4]個ある．
(3)関数y=\・・・

　私立 沖縄国際大学 2013年 第3問

以下の各問いに答えなさい．
(1)以下の図において\overline{A∩B}の部分を塗りつぶしなさい．
（プレビューでは図は省略します）
(2)A={2x\;|\;1≦x≦10,x　は自然数　}，B={3y\;|\;1≦y≦10,y　は自然数　}のとき，A∩Bの要素をすべて答えなさい．
(3)命題「x2-1=0⇒x=1またはx=-1」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中①～⑤（）内に，命題「p⇒q」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なも・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　国立 防衛医科大学校 2012年 第4問

n,rはn≧rを満たす正の整数であるとし，x,yともに0以上n以下の整数であるような座標平面上の点(x,y)の集合をSとする．また，曲線x2+y2=r2(x≧0,y≧0)，x軸，y軸によって囲まれる領域(境界を含む)をDとする．ここで，Sからランダムに1点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=10,r=5のとき，選ばれた点がD内にある確率はいくらか．
(2)[x]はxを超えない最大の整数を表す記号である．直線x=t上の点でDに含まれるSの要素の個・・・

　国立 旭川医科大学 2012年 第1問

正の奇数pに対して，3つの自然数の組(x,y,z)で，x2+4yz=pを満たすもの全体の集合をSとおく．すなわち，
S={(x,y,z)\;\Big|\;x,y,z　は自然数，　x2+4yz=p}
次の問いに答えよ．
(1)Sが空集合でないための必要十分条件は，p=4k+1(k　は自然数　)と書けることであることを示せ．
(2)Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x,y,z)でy=zとなるものが存在することを示せ．