「要素」について

　国立 熊本大学 2011年 第1問

1個のさいころを2回続けて投げるとき，1回目に出る目の数をa，2回目に出る目の数をbとする．これらのa,bに対して，実数を要素とする集合P,Qを次のように定める．
\begin{align}
&P={x\;|\;x2+ax+b＞0}\nonumber\\
&Q={x\;|\;5x+a≧0}\nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Pが実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)Q\subsetPとなる確率を求めよ．

　国立 浜松医科大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)3つの数2^{10}-1,3^{10}-1,4^{10}-1の積をy=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)として，全体集合Uと部分集合A,Bを次のように定める．
\begin{array}{l}
U={x\;|\;x　は　y　の正の約数　}\
A={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　44　の倍数　}\
B={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　45　の倍数　}
\end{array}
このとき，部分集合A∩\overline{B}に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列an=4n-1(・・・

　私立 上智大学 2011年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．
自然数n=1,2,3,・・・に対して，nが[√n]の整数倍で表せるとき，そのようなnを小さいものから順に並べて
n1,n2,n3,・・・
とする．
(1)n5=[マ]である．
(2)自然数pに対して，[√n]=pをみたす自然数nの集合をMpとする．Mpの要素でpの整数倍であるものは全部で[ミ]個ある．
(3)自然数mに対して，
Sm=Σ_{i=1}mni
とおく．k≧1のとき，S_{3k-2}・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第2問

以下の問に答えよ．
(1)次の値を求めよ．
\begin{array}{lllll}
①log236-log29&&②log3\sqrt{729}&&③43×(23)^{-2}\
④\sqrt[3]{3}\div√9×\sqrt[4]{27}&&⑤sin225°&&⑥tan210°\phantom{\frac{[]}{1}}
\end{array}
(2)正の整数の集合A,Bがある．ここでA={2n\;|\;10≦2n≦200,n　は正の整数　}，B={m2\;|\;10≦m2≦200,・・・

　私立 愛知工業大学 2011年 第4問

次の[]を適当に補え．
(1)2つの自然数x,y(x＜y)の積が588で，最大公約数が7であるとき，この2つの自然数の組(x,y)は(x,y)=[]である．
(2)xy平面において，2次関数y=f(x)のグラフが点(2,5)を頂点とし，点(-1,-4)を通る放物線であるとき，f(x)=[]である．また，このグラフをx軸方向に[]，y軸方向に[]だけ平行移動すればy=-x2+10x-21のグラフになる．
(3)円に内接する四角形ABCDにおいて，∠A={60}°，\te・・・

　私立 千葉工業大学 2011年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)放物線C:y=x2+ax+bが2直線L1:y=-4x+2，L2:y=2x-1の両方と接している．このとき，a=[アイ]，b=[ウ]であり，CとL1との接点のx座標は[エオ]，CとL2との接点のx座標は[カ]である．
(2)整数を要素とする2つの集合A={2,6,5a-a2}，B={3,4,3a-1,a+b}がある．4が共通部分A∩Bに属するとき，a=[キ]または[ク]（ただし，[キ]＜[ク]）である．さらにA∩B={4,6}であるとき，b=・・・

　国立 愛媛大学 2010年 第9問

nを自然数とし，集合A,Bを
\begin{align}
A={a\;|\;a&　は条件(★)をみたす自然数　}\nonumber\\
B={a\;|\;a&　は条件(☆)をみたす自然数　}\nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの実数解α,βをもち，α-βは整数である．
\mon[(☆)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの整数解α,βをもつ．

(1)2つの集合・・・

　国立 宮城教育大学 2010年 第2問

自然数Nは30の倍数である．
\begin{align}
&U={x\;|\;x　は　1　以上　N　以下の奇数　},\nonumber\\
&A={x\;|\;x\inU,x　は　3　の倍数　},\nonumber\\
&B={x\;|\;x\inU,x　は　5　の倍数　},\nonumber
\end{align}
とし，集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれuN,aN,bN,cNと表す．次の問いに答えよ．
(1)uN,aN,bN,cNをNを用いて表せ．
(2)N以下の素数の個数をPNとするとき，不等式PN≦uN-aN-b・・・

　私立 北海道医療大学 2010年 第3問

2次不等式x2-11x+28＜0を満たす実数xの集合をA，x2-(a+2)x+2a＜0を満たす実数xの集合をBとする．ここで，aは定数で，a＞2とする．また，\phiを空集合，実数全体の集合Uを全体集合とし，A,Bの補集合を\overline{A},\overline{B}とする．以下の問に答えよ．
(1)次の不等式を解け．
\mon[①]x2-11x+28＜0
\mon[②]x2-(a+2)x+2a＜0
(2)A∩B=\phiとなるようなaの値の範囲を求めよ．
(3)A∩Bが整数を1つだけ含むよう・・・