「象限」について

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第3問

xy平面上の第1象限内の2つの曲線C1:y=√x(x＞0)とC2:y=1/x(x＞0)を考える．次の問いに答えよ．ただし，aは正の実数とする．
(1)x=aにおけるC1の接線L1の方程式を求めよ．
(2)C2の接線L2が(1)で求めたL1と直交するとき，接線L2の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めたL2がx軸，y軸と交わる点をそれぞれA，Bとする．折れ線AOBの長さlをaの関数として求め，lの最小値を求めよ．ここで，Oは原点である・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第3問

xy平面上の第1象限内の2つの曲線C1:y=√x(x＞0)とC2:y=1/x(x＞0)を考える．次の問いに答えよ．ただし，aは正の実数とする．
(1)x=aにおけるC1の接線L1の方程式を求めよ．
(2)C2の接線L2が(1)で求めたL1と直交するとき，接線L2の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めたL2がx軸，y軸と交わる点をそれぞれA，Bとする．折れ線AOBの長さlをaの関数として求め，lの最小値を求めよ．ここで，Oは原点である・・・

　国立 大分大学 2015年 第4問

曲線C:4x2+9y2=36(x＞0)上の点P(\frac{3√3}{2},y1)が第1象限にある．点Pにおける曲線Cの接線をℓとする．
(1)y1の値を求めなさい．
(2)接線ℓの方程式を求めなさい．
(3)接線ℓとx軸との交点のx座標を求めなさい．
(4)曲線C，接線ℓ，x軸で囲まれた部分の面積Sを求めなさい．

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 群馬大学 2015年 第5問

点P(0,4)を通る傾き1/5の直線をℓとし，曲線y=|x(x-4)|をCとする．
(1)ℓとCの第1象限における交点Qを求めよ．
(2)Cと線分PQおよびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2015年 第3問

放物線y=ax2+bx+c(a＞0)をCとし，直線y=2x-1をℓとする．
(1)放物線Cが点(1,1)で直線ℓと接し，かつx軸と共有点をもつためのa,b,cが満たす必要十分条件を求めよ．
(2)a=8/9のとき，(1)の条件のもとで，放物線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分のうち，第1象限にある部分の面積を求めよ．

　国立 信州大学 2015年 第2問

放物線y=ax2+bx+c(a＞0)をCとし，直線y=2x-1をℓとする．
(1)放物線Cが点(1,1)で直線ℓと接し，かつx軸と共有点をもつためのa,b,cが満たす必要十分条件を求めよ．
(2)a=8/9のとき，(1)の条件のもとで，放物線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分のうち，第1象限にある部分の面積を求めよ．