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楕円\frac{x2}{4}+y2=1の第1象限の点Pに接線を引き,x軸との交点をA,y軸との交点をBとする.Pを第1象限で楕円上を動かしたときの線分ABの長さの最小値を求めよ.
国立 金沢大学 2012年 第1問Oを原点とする座標平面に点A(0,sinθ),B(cosθ,0)がある.ただし,0<θ<π/2とする.また,点CをAC=2,∠ABC=π/2を満たす第1象限の点とする.さらに,点Cからx軸に垂線CDを下ろす.次の問いに答えよ.
(1)AB,BCを求めよ.また,∠OBAと∠CBDおよび点Cの座標をθを用いて表せ.
(2)台形AODCの面積をS・・・
国立 弘前大学 2012年 第3問座標平面に点E(1,0),F(1,1),F´(-5,11)がある.さらに点E´は第1象限にあり,Oを原点とするとき,三角形OE´F´は角E´が直角の二等辺三角形である.
(1)点E´の座標を求めよ.
(2)点Eを点E´に,点Fを点F´に移すような1次変換をfとする.fを表す行列を求めよ.
(3)座標平面に三角形OPQがあり,(2)の1次変換fにより点Pが点P^・・・
国立 香川大学 2012年 第3問曲線C:y=xsinxについて,次の問に答えよ.
(1)Cの接線のうち,原点を通る接線の方程式をすべて求めよ.
(2)直線y=1/2xとCとの交点のうち,第1象限にあるものをx座標の小さい方から順にP1,P2,P3,・・・とする.線分P_{2n-1}P_{2n}とCで囲まれた図形の面積Snを求めよ.
(3)点Qn(π/2+2(n-1)π,π/2+2(n-1)π)に対して,△P_{2n-1}P_{2n}Qnの面積をTnとする.このとき,nによらず・・・
国立 電気通信大学 2012年 第1問関数f(x)=\frac{1}{x2+1}に対して,xy平面上の曲線C:y=f(x)を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)導関数f´(x)を求めよ.
(2)曲線Cの第1象限にある変曲点Pの座標を求めよ.
(3)変曲点Pにおける曲線Cの接線ℓの方程式を求めよ.
(4)x=tanθ(-π/2<θ<π/2)とおく.このとき,不定積分
I=∫\frac{dx}{x2+1}
をθを用いて表せ.なお,不定積分の計算においては積分定数を・・・
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第2問xy平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ.
(1)図のようにx軸の正の部分と30°の角をなす直線上にn個の点(A1,A2,・・・,An)を以下の規則で配置する.このときのAnの座標をnを用いて表せ.またn→∞の場合におけるAnの座標を求めよ.
(規則) |\overrightarrow{OA1}|=2,\overrightarrow{A1A2}=1/2\overrightarrow{OA1},\overrightarrow{A_{n-1}An}=\fr・・・
私立 北海学園大学 2012年 第2問αは第1象限の角,βは第2象限の角であり,
{\begin{array}{l}
5sinα-tanβ=3\
3sinα+2tanβ=-17/5
\end{array}.
を満たしている.
(1)sinαとtanβの値をそれぞれ求めよ.
(2)cosα,tanα,sinβ,cosβの値をそれぞれ求めよ.
(3)sin(α+β)とtan(α+β)の値をそれぞれ求めよ.
私立 東京理科大学 2012年 第2問aを正の定数とし,座標平面において放物線C:y=ax2上の点P(t,at2)を考える.ただし,t>0とする.点PにおけるCの接線ℓとx軸の交点をRとする.x軸上の点Qを,RP=RQを満たし,そのx座標がRのx座標より大きいものとする.
(1)点Pを通りℓと直交する直線の方程式を求めよ.
(2)点Qの座標を求めよ.
(3)直線ℓと点Pにおいて接しx軸とも接する円で,中心が第1象限にあるものを考える.この円の中心の座標・・・
私立 岡山理科大学 2012年 第3問原点Oを中心とする半径2の円に,点P(4,0)から引いた2つの接線の接点のうち,第1象限にある点をA,残りの点をBとする.直線ABがx軸と交わる点をCとする.Cから直線APに引いた垂線とAPの交点をDとする.このとき,次の設問に答えよ.
(1)線分APの長さを求めよ.
(2)線分CDの長さを求めよ.
(3)3点P,C,Dを通る円の方程式を求めよ.
私立 安田女子大学 2012年 第4問座標平面上の直線y=2x+1を直線ℓとし,直線ℓとy軸の交点をAとする.第1象限内における直線ℓ上の任意の点を中心としAを通る円Oを考える.直線ℓと円Oの交点のうち,Aと異なるもう一方の交点をBとする.また,Aを通りx軸に平行な直線と円Oの交点のうち,Aと異なる交点をCとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)sin∠BACの値を求めよ.
(2)直線BCはy軸に平行であることを証明せよ・・・