「象限」について

　国立 九州大学 2010年 第3問

xy平面上に曲線y=\frac{1}{x2}を描き，この曲線の第1象限内の部分をC1，第2象限内の部分をC2と呼ぶ．C1上の点P1(a,\frac{1}{a2})からC2に向けて接線を引き，C2との接点をQ1とする．次に点Q1からC1に向けて接線を引き，C1との接点をP2とする．次に点P2からC2に向けて接線を引き，接点をQ2とする．以下同様に続けて，C1上の点列PnとC2上の点列Qnを定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Q1の座標を求めよ・・・

　国立 熊本大学 2010年 第4問

原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分Cについて考える．C上に3点A\biggl(\frac{√2}{2},\frac{√2}{2}\biggr)，P(1,0)，Q(0,1)をとる．s+t=1を満たすs,t(0＜s＜1,0＜t＜1)に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
s2ベクトルOA-sベクトルOX,tベクトルOA-t2ベクトルOX
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOAとベクトルOXのなす角をθとするとき，cosθをtを用いて表せ．
(2)cosθのとり得る値・・・

　国立 福井大学 2010年 第3問

原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aはy軸の正の部分に，頂点Bはx軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．　AB　=2,　BC　=1とし∠　OAB　=tとおく．ただし，0＜t＜π/2とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)長方形ABCDの周でy≦1にある部分の長さをf(t)とおく．f(t)を求めよ．
(2)f(t)=3が成り立つときのcost,sintの値を求めよ．
(3)tが0＜t＜π/2の範囲を動くとき，f(t)の最・・・

　国立 宇都宮大学 2010年 第6問

座標平面上に，点(0,1)を中心とする半径1の円と点P(0,h)(0＜h＜2)がある．点Pを通る直線y=hと円との交点で第1象限にあるものをQとする．曲線C:y=αx2は点Qを通るとし，y軸と曲線Cおよび線分PQで囲まれた部分を図形Aとする．次の問いに答えよ．
(1)αをhを用いて表せ．
(2)図形Aの面積Sをhの式で表し，Sの最大値を求めよ．
(3)図形Aをy軸の周りに1回転してできる立体の体積Vをhの式で表し，Vの最大・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)円x2+y2=1と放物線y=x2+5との共通の接線のうち，円と第1象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)n≧2であるような自然数nに対して
1・2・3+2・3・4+・・・+(n-1)・n・(n+1)=(1+2+3+・・・+n)(2+3+・・・+n)
が成り立つことを示せ．
(3)関数f(x)=\frac{cosx}{\sqrt{1+cos2x}}(-π/2≦x≦3/2π)の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1から9までの整数がひとつずつ書かれた9個の玉が入っている袋の中から玉を3個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が12以上となる確率を求めよ．
(2)円x2+y2=1と放物線y=x2+5との共通の接線のうち，円と第1象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の3点A，B，Cに対して|ベクトルAB|=1，|ベクトルAC|=5，ベクトルAB・ベクトルAC=3である．|ベクトルBC|を求めよ．ただし，ベクトルAB・ベクトルACはベクトルABとベクトルAC・・・

　私立 学習院大学 2010年 第2問

第一象限内にあって2つの曲線
y=x2-1,x2+y2+2√3y-1=0
と2つの直線
y=3,x=0
とで囲まれる図形をDとする．
(1)Dの面積を求めよ．
(2)Dをy軸に関して1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　私立 東京電機大学 2010年 第3問

正の定数kに対して，曲線C:y=\frac{x3}{3}の接線で傾きがk2のものをℓ1,ℓ2とする．Cとℓ1,ℓ2の接点P，Qはそれぞれ，第1，第3象限にあるとする．また，Cとℓ1との共有点のうち，PでないものをRとする．次の問に答えよ．
(1)P，Q，Rの座標をkで表せ．
(2)線分QRとCで囲まれた図形の面積Tをkで表せ．
(3)(2)で求めたTが，T＜1をみたすようなkの値の範囲を求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第6問

関数y=1/xのグラフと接する2本の直線ℓ1，ℓ2が第2象限で交わっている．実数a,bはa＞0，b＜0とし直線ℓ1は点(a,0)を通り，直線ℓ2は点(b,0)を通る．点Aは直線ℓ1とx軸の交点，点Bは直線ℓ1と直線ℓ2の交点，点Cは直線ℓ2とy軸の交点とする．このとき，三角形ABCの面積Sはt=a/bの関数で，
S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]}
となり，面積Sはt=[ニ]-\sqrt{\ka・・・