「逆行列」について

　国立 香川大学 2015年 第5問

（旧課程履修者）行列A,EをA=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とし，a,bをa2+b2≠0を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)A2を求めよ．
(2)X=aA+bEの逆行列X^{-1}を求めよ．
(3)B2=-Eを満たす任意の2次の正方行列Bについて，(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tEとなる実数s,tをa,bを用いて表せ．
(4)(3)のBに対してY=aB+bEとおくとき，pB+qEがYの逆行列・・・

　国立 静岡大学 2014年 第2問

a,b,c,d,s,tを実数とし，b≠0とする．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とし，B=(\begin{array}{rr}
1&0\
s&-1
\end{array})は等式
AB+BA=(a+d)B
を満たすとする．xの2次方程式
x2-(a+d)x+ad-bc=0
は異なる2つの実数解α,βをもつとし，列ベクトルX=(\begin{array}{c}
1\
t
\end{array})は等式AX=αXを満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sを行列Aの成分を用いて・・・

　国立 静岡大学 2014年 第2問

a,b,c,d,s,tを実数とし，b≠0とする．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とし，B=(\begin{array}{rr}
1&0\
s&-1
\end{array})は等式
AB+BA=(a+d)B
を満たすとする．xの2次方程式
x2-(a+d)x+ad-bc=0
は異なる2つの実数解α,βをもつとし，列ベクトルX=(\begin{array}{c}
1\
t
\end{array})は等式AX=αXを満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sを行列Aの成分を用いて・・・

　国立 北海道大学 2014年 第3問

逆行列をもつ2次の正方行列，A1,A2,A3,・・・が，関係式
A_{n+1}An=An+2E(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．さらにA1+Eは逆行列をもつとする．ここでEは2次の単位行列とする．
(1)すべての自然数nに対してAn+Eは逆行列をもち，
(A_{n+1}+E)^{-1}=1/2An(An+E)^{-1}
が成立することを示せ．
(2)Bn=(2E-An)(An+E)^{-1}により，行列Bnを定める．B_{n+1}とBnとの間に成立する関係式を求め，BnをB1とnを用いて表せ．

　国立 新潟大学 2014年 第3問

a,b,cを実数とする．行列A=(\begin{array}{rr}
2&1\
a&-3
\end{array})，P=(\begin{array}{rr}
2&1\
2&-6
\end{array})はP^{-1}AP=(\begin{array}{rr}
3&b\
0&c
\end{array})を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,b,cの値を求めよ．
(2)Aは逆行列をもつことを示し，Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)自然数nに対して，(A+6A^{-1})nを求めよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})に対して，ベクトルベクトルu=(p,q)，ベクトルv=(r,s)は
|ベクトルu|=|ベクトルv|=1,A(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})=α(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array}),A(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})=β(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})
を満たすとする．ただし，α,βは相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．
\begi・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする{150}°の回転移動を表す行列をPとする．点(x,y)がPの表す移動によって，点(2,4)に移ったとする．このとき，点(x,y)を求めよ．
(2)(1)で与えられた行列Pを考える．Pn=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たす最小の自然数nを求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，X,Yは2次の正方行列とする．
(i)XY=Y・・・

　国立 弘前大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
-1&3
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)4P+Q=AとP+Q=Eを満たす2次正方行列P,Qを求めよ．
(2)(1)で求めたP,Qに対して，PQ,QPを求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)Anの逆行列をBn=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})とする．極限値\lim_{n→∞}an，・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2014年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
0&a\
1&-1
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})がA2+A+E=Oの関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)aの値を求めよ．
(2)A3を，(1)で求めたaの値を用いて求めよ．
(3)E+A+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A^{10}を，(1)で求めたaの値を用いて求めよ．
(4)Aの逆行列A^{-1}を，(1)・・・

　国立 三重大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列である．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して|A|=ad-bcとおく．たとえば，A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&4
\end{array})のときは，|A|=1×4-2×3=-2である．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対して|AB|=|A|×|B|が成り立つことを示せ．
(2)・・・