「逆行列」について

　国立 鹿児島大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}
2&3\
5&7
\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
0&1\
2&3
\end{array}),Q=(\begin{・・・

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)xの整式x3+3mx2+2(m2-1)x-4が(x+2)2で割り切れるとする．このとき，mの値はm=[ア]であり，商は[イ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
x+1&2\
-5&y-2
\end{array})がある．A2=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たすとき，xとyの値を求めると(x,y)=[ウ]である．また，Aが逆行列をもたないような2つの正の整数xとyの値を求めると(x,y)=[エ]で・・・

　私立 東京都市大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)(\begin{array}{cc}
1+a&1\
4&3+3a
\end{array})が逆行列をもたないようなaの値をすべて求めよ．
(2)xy平面上の曲線y=\sqrt{x-1}+1と直線y=x-6の交点の座標を求めよ．
(3)媒介変数表示
{\begin{array}{l}
x=4cos2θ\
y=4cosθsinθ
\end{array}.
の表す円の方程式，および中心の座標と半径を求めよ．

　私立 日本医科大学 2013年 第1問

2つの行列A=(\begin{array}{cc}
1&2\
-3&6
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a-2&-1\
a2-2a-4&2a-6
\end{array})に対して，以下の各問いに答えよ．
(1)行列A-kEが逆行列をもたないような定数kの値を求めよ．ただしEは2次の単位行列を表す．
(2)(1)で求めたkの値を小さい順にα,βとするとき，αP+βQ=A，P+Q=Eを満たす行列P,Qを求めよ．
(3)行列の積P2,Q2,PQ,QPを求めよ．
(4)行列Aのn乗An(n=1・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第4問

以下の命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげて偽であることを説明しなさい．
(1)pを，4で割ると3余る素数とする．このとき，2p+1は3の倍数であるか，または素数である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の成分と，Aの逆行列A^{-1}の成分がすべて整数であるとする．このとき，|ad-bc|=1である．

　私立 杏林大学 2013年 第4問

[オ]，[タ]，[チ]，[ト]，[ナ]の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
条件a1=0，a2=0と漸化式
a_{n+2}-3a_{n+1}+2an=2nlog2\frac{(n+1)2}{n}・・・・・・(*)
(n=1,2,3,・・・)で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．
(1)漸化式(*)より，ベクトルベクトルbn=(\begin{array}{c}
a_{n+1}\
an
\end{array})に対して
ベクトルb_{n+1}=A\vectit{b_・・・

　公立 首都大学東京 2013年 第2問

A,B,Pを実数を成分とする2次の正方行列とする．Pは逆行列をもち，P^{-1}APの(1,2)成分と(2,1)成分は0となるものとする．P^{-1}AP=(\begin{array}{cc}
a1&0\
0&a2
\end{array})，P^{-1}BP=(\begin{array}{cc}
b1&b2\
b3&b4
\end{array})とおく．以下の問いに答えなさい．
(1)a1≠a2かつAB=BAが成り立つとき，b2=b3=0であることを示しなさい．
(2)A=(\begin{array}{cc}
0&-2\
1&3
\end{array})，P=\l・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第3問

2次の正方行列A,BがAB≠BA，A2B=ABA=BA2を満たすとする．
(1)Aは逆行列をもたないことを証明せよ．
(2)A2を求めよ．
(3)B2が単位行列Eのとき，AB+BAを求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cを実数として，A,B,Cを
A=a+b+c,B=a2+b2+c2,C=a3+b3+c3
とおく．このときabcをA,B,Cを用いて表せ．
(2)nを自然数とする．このとき
Σ_{k=0}^{n-1}\frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2}
を求めよ．
(3)ボタンを押すとX，Y，Zいずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，XとYが表示される確率は，等しくかつZが表示される確率の2倍である，とする．いま，ボタンを5・・・