「逆行列」について

　国立 東京農工大学 2011年 第2問

a,bを実数とする．行列
A=\mat＜3,1＞[-2,-1,5,4],B=\mat＜3,1＞[-1,0,0,3],C=\mat＜3,1＞[1,1,a,b]
について，次の問いに答えよ．
(1)AC=CBが成り立つときのa,bを求めよ．
(2)\tvec＜3,1＞[xn,yn]=(A^{-1})n\tvec＜3,1＞[1,3]によってxn,yn(n=1,2,3,・・・)を定める．このとき，xn,ynをnの式で表せ．ただし，A^{-1}はAの逆行列である．
(3)xn,ynは(2)で求めたものとし，Oを原点とするxy平面上の点(xn,yn)をPnとする．このとき，{　OP　n}2・・・

　国立 鹿児島大学 2011年 第5問

次の行列Aを考える．
A=(\begin{array}{cc}
-2&2\\
-2&0
\end{array})
次の各問いに答えよ．
(1)2×2行列Xに対して，E-Xが逆行列を持つとき
E+X+X2+・・・+Xn=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1}
が成立することを示せ．ただし，Eは2×2の単位行列である．
(2)A2とA3を計算せよ．さらにA^{100}とA^{101}を計算せよ．
(3)E+A+A2+・・・+A^{100}を計算せよ．

　国立 室蘭工業大学 2011年 第5問

x,yは実数で，x+2y=3を満たすとする．さらに，行列A=(\begin{array}{cc}
2&2\
2&-1
\end{array})に対して等式A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=-2(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})が成り立つとする．
(1)x,yの値を求めよ．
(2)行列P=(\begin{array}{cc}
2&x\
1&y
\end{array})は逆行列をもつことを示し，P^{-1}APを求めよ．
(3)正の整数nに対して，Anを求めよ．

　国立 岐阜大学 2011年 第5問

a,b,c,dを実数の定数とする．座標平面上の点(2,1)を点(5,2)に移す1次変換を表す行列を
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
とする．以下の問に答えよ．
(1)Aが逆行列をもつための必要十分条件をaとcを用いて表せ．
(2)次の式を満たすAを求めよ．
A2=(\begin{array}{cc}
25/4&0\
5/2&0
\end{array})
(3)nを自然数とする．(2)で求めたAについて
-2/5A+(-\fr・・・

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　私立 関西大学 2011年 第2問

a,bを実数の定数とし，3つの行列
A=(\begin{array}{rr}
3&-2\
a&1
\end{array}),R=1/2(\begin{array}{rr}
5&-4\
6&-5
\end{array}),Q=(\begin{array}{cc}
1/2&0\
0&b
\end{array})
はAR=QAを満たしている．次の[]をうめよ．
AR=QAを満たすaの値は2つある．そのうち，Aが逆行列をもたないのは，a=[①]のときであり，このとき，b=[②]で・・・

　公立 広島市立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)A=\biggl(\begin{array}{cc}
7&-3\\
-3&1
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{c}
2\\
-4
\end{array}\biggr)とするとき，Aの逆行列A^{-1}とBの積A^{-1}Bを計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
y=x^{1+1/x}(x＞0)
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)]∫\frac{x2+1}{x+1}dx
\mon[(ii)]∫01\frac{dx}{(x2+1)2}

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第4問

xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし，円Sの任意の点Pに対して，点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし，Aによって定まるxy平面の一次変換
(\begin{array}{c}
x´\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})
を\varphiとおく．このとき，円Sの任意の点Pに対して円・・・

　国立 北海道大学 2010年 第2問

実数を成分とする行列A=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
)がA2-A+E=Oを満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．
(1)Aは逆行列をもつことを示せ．
(2)a+dとad-bcを求めよ．
(3)b＞0,A^{-1}=(
\begin{array}{cc}
a&c\\
b&d
\end{array}
)のとき，Aを求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第4問

xの微分可能な関数を成分とする行列M=\biggl(\begin{array}{cc}
m_{11}&m_{12}\\
m_{21}&m_{22}
\end{array}\biggr)に対し，Mの各成分をxで微分した行列\biggl(\begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime}&m_{12}^{\prime}\\
m_{21}^{\prime}&m_{22}^{\prime}
\end{array}\biggr)をM^{\prime}と表す．a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}およびb_{11},b_{12},b_{21},b_{22}をxの微分可能な関数とし，
A=\biggl(\begin{array}{cc}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}\biggr),B=\biggl(・・・