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行列Aで表される移動によって,点(x,y)は点(x+y,x-y)に移る.行列Bで表される移動によって,点(x,y)は点(2x+y+ax,x+2y-ay)に移る.行列XがAX=Bを満たすとき,次の問いに答えよ.
(1)Xの逆行列が存在しないようなaの値を求めよ.
(2)aが整数で,行列X^{-1}のすべての成分が整数になるようなaをすべて求めよ.
国立 福井大学 2010年 第4問pを0でない実数とし,行列A,Bをそれぞれ次のように定める.このとき,以下の問いに答えよ.
A=\biggl(\begin{array}{cc}
p-1/p&1\\
2&-p
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
1/p&-1
\end{array}\biggr)
(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ.ただし,Eは2次の単位行列である.
(2)AB=Cとおく.E+Cの逆行列が存在することを示し,さらに自然数mに対して等式
E-C+C2-C3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}
が・・・
国立 電気通信大学 2010年 第4問実数aに対し,
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&a-2\\
a+1&-3
\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)
とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)すべてのaに対してAが逆行列をもつことを示し,Aの逆行列を求めよ.
(2)E-Aが逆行列をもたないようなaの値を求めよ.
以下では,aを(2)で求めた値のうち正のものとする.
\mon[(3)]A\biggl(\begin{array}{c}
b\\
3
\end{array}\biggr)=\biggl(\b・・・
国立 室蘭工業大学 2010年 第5問a,b,c,dを実数とする.E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とし,2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})はA2=-Eを満たすとする.
(1)a=0のとき,d,bcの値を求めよ.
(2)(1)の条件のもとで,E+Aが逆行列をもつことを示せ.さらに,実数p,qを用いて(E+A)^{-1}をpE+qAの形で表すとき,p,qの値を求めよ.
(3)aを任意の実数とするとき,a+d,ad-bcの値を求めよ.
国立 旭川医科大学 2010年 第2問α>1とする.0<t<\frac{π}{α-1}となるtに対して,xy平面上の点P(cost,sint)と点Q(cosαt,sinαt)を通る直線をℓtとする.次の問いに答えよ.
(1)直線ℓtの方程式を
f(t)x+g(t)y=h(t)
とする.h(t)=-sin(α-1)tのとき,f(t),g(t)を求めよ.
(2)行列(\begin{array}{cc}
f(t)&g(t)\
f´(t)&g´(t)
\end{array})は逆行列をもつことを示せ.
(3)x(t),y(t)を
(\begin{array}{cc}
f・・・
国立 長岡技術科学大学 2010年 第2問関数f(x)=(ax+b)e^{-3x}について以下の問いに答えなさい.
(1)導関数f´(x)をf´(x)=(cx+d)e^{-3x}と表すとき,(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=A(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})となる2×2行列Aを求めなさい.
(2)(1)の行列Aの逆行列を求めなさい.
(3)不定積分∫xe^{-3x}dxを求めなさい.
国立 愛知教育大学 2010年 第7問2次の正方行列A,Bに対して,次の命題が真か偽かを答えよ.さらに,真ならば証明をし,偽ならば反例をあげよ.
(1)A,Bがともに逆行列を持つならば,和A+Bも逆行列を持つ.
(2)行列の和A+Bが逆行列を持つならば,A,Bはともに逆行列を持つ.
(3)A,Bがともに逆行列を持つならば,積ABAも逆行列を持つ.
(4)行列の積ABAが逆行列を持つならば,A,Bはともに逆行列を持つ.
私立 学習院大学 2010年 第1問行列
A=(\begin{array}{cc}
-1&1\
-4&3
\end{array})
について次の問いに答えよ.
(1)A2,A3を計算せよ.
(2)自然数nについてAnを求めよ.
(3)自然数nについてAnの逆行列を求めよ.
私立 日本女子大学 2010年 第1問行列Pで表される1次変換によって平面上の点(-2,1)と点(1,1)が,それぞれ点(-1,3),点(2,6)に移る.
(1)Pを求めよ.
(2)実数a,b,c,dに対して行列
A=(\begin{array}{rr}
a&b\
-5&8
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
c&0\
0&d
\end{array})
が
AP=PB
を満たしているとする.このとき,a,b,c,dの値を求めよ.
(3)Pが逆行列P^{-1}をもつことを示し,(PBP^{-1})2を求めよ.
(4)自然数nに対してAnを求・・・
公立 大阪市立大学 2010年 第1問A=(\begin{array}{rr}
1&1\\
-1&1
\end{array}),E=(\begin{array}{rr}
1&0\\
0&1
\end{array})とする.次の問いに答えよ.
(1)2次正方行列X,Yが共に逆行列をもてば,積XYも逆行列をもつことを示せ.
(2)すべての実数sについて,A+sEは逆行列をもつことを示せ.
(3)すべての実数tについて,A2+3tA+2t2Eは逆行列をもつことを示せ.