「逆行列」について

　公立 名古屋市立大学 2010年 第2問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)(ただしb≠0)が，ある自然数k≧3に対してAk=O(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列Aは逆行列を持たないことを示せ．
(2)A2=Oであることを示せ．
(3)0でない実数をp，単位行列をEとおく．A-pEが逆行列を持つことを示し，それをa,b,pで表せ．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第1問

ある自然数k≧3に対して行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})（ただしb≠0）が，Ak=O(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列Aは逆行列を持たないことを示せ．
(2)A2=Oであることを示せ．
(3)0でない実数をp，単位行列をEとおく．A-pEが逆行列を持つことを示し，逆行列をa,b,pで表せ．

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})に対して，次の各問に答えよ．
(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．
(2)全ての自然数nについて
An=rn(\begin{array}{rr}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array})・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第7問

行列
A=(\begin{array}{cc}
1&-1\
a&0
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，a＞0とする．
(1)Aの逆行列を求めよ．
(2)Aの表す1次変換によって，双曲線y=\frac{1}{x-1}上のある点が，点(-1,1)に移されるとする．このとき，aの値を求めよ．