「逆関数」について

　国立 金沢大学 2015年 第3問

関数y=log3xとその逆関数y=3xのグラフが，直線y=-x+sと交わる点をそれぞれP(t,log3t)，Q(u,3u)とする．次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点の座標は(s/2,s/2)であることを示せ．
(2)s,t,uはs=t+u，u=log3tを満たすことを示せ．
(3)\lim_{t→3}\frac{su-k}{t-3}が有限な値となるように，定数kの値を定め，その極限値を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2015年 第2問

2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　私立 金沢工業大学 2015年 第1問

関数f(x)=\sqrt{7x-3}-1について考える．
(1)f(x)の逆関数はf^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x2+[ウ]x+[エ])(x≧[オカ])である．
(2)曲線y=f(x)と直線y=xとの交点の座標は([キ],[ク])，([ケ],[コ])である．ただし，[キ]＜[ケ]とする．
(3)不等式f^{-1}(x)≦f(x)の解は[サ]≦x≦[シ]である．

　国立 防衛医科大学校 2014年 第4問

y=f(x)=tanx(-π/2＜x＜π/2,-∞＜y＜∞)の逆関数をy=f^{-1}(x)=tan^{-1}x(-∞＜x＜∞,-π/2＜y＜π/2)とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i)tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/3はいくらか．
(ii)tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/3=tan^{-1}\frac{・・・

　国立 長崎大学 2014年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)-π/2＜x＜π/2のとき，tanx=tとおく．cos2xとdx/dtをtで表せ．
(2)∫0^{π/4}\frac{tanx}{2-cos2x}dxを求めよ．
(3)関数y=\frac{ex-e^{-x}}{2}の逆関数を求めよ．
(4)x=\frac{et-e^{-t}}{2}とおくことにより，∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．

　国立 長崎大学 2014年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)-π/2＜x＜π/2のとき，tanx=tとおく．cos2xとdx/dtをtで表せ．
(2)∫0^{π/4}\frac{tanx}{2-cos2x}dxを求めよ．
(3)関数y=\frac{ex-e^{-x}}{2}の逆関数を求めよ．
(4)x=\frac{et-e^{-t}}{2}とおくことにより，∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2014年 第4問

x≧0で定義される関数f(x)=xe^{x/2}について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の第1次導関数をf´(x)，第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする．f´(2)，f^{\prime\prime}(2)を求めよ．
(2)f(x)の逆関数をg(x)，g(x)の第1次導関数をg´(x)，第2次導関数をg^{\prime\prime}(x)とする．g´(2e)，g^{\prime\prime}(2e)を求めよ．

　国立 山形大学 2013年 第3問

関数f(x)=1/2x2(x≧0)の逆関数をf^{-1}(x)とする．xy平面上に2曲線C1:y=f(x)とC2:y=f^{-1}(x)がある．次の問いに答えよ．
(1)2曲線C1,C2で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)a≧2とする．曲線C1上の点A(a,\frac{a2}{2})における接線をℓ1，曲線C2上の点B(\frac{a2}{2},a)における接線をℓ2とし，2直線ℓ1,ℓ2のなす角をθ\・・・

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第7問

-2≦x≦2上で関数f(x),g(x)を
f(x)=1/2-1/4|x|,g(x)=∫_{-2}xf(t)dt
によって定める．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)g(x)を計算し，y=g(x)のグラフの概形を描け．
(3)y=g(x)の逆関数y=g^{-1}(x)を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)∫01(g^{-1}(x))2dxを計算せよ．
(5)y=g^{-1}(x)はx=1/2で微分可能であることを示せ．

　私立 金沢工業大学 2013年 第1問

関数f(x)=1/4(x-1)2+3/2(1≦x≦3)を考える．
(1)関数f(x)の逆関数f^{-1}(x)は
f^{-1}(x)=[ア]+\sqrt{[イ]x-[ウ]}(\frac{[エ]}{[オ]}≦x≦\frac{[カ]}{[キ]})
である．
(2)不等式x＜f^{-1}(x)を満たすxの値の範囲は
[ク]-\sqrt{[ケ]}＜x≦\frac{[コ]}{[サ]}
である．