「逆関数」について

　国立 東京医科歯科大学 2012年 第3問

関数f(x)=x3-x2+xについて，以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)f(x)の逆関数をg(x)とおく．x＞0について
\sqrt[3]{x}-1＜g(x)＜\sqrt[3]{x}+1
が成立することを示せ．
(3)b＞a＞0について
0＜∫ab\frac{1}{x2+1}dx＜1/a
が成立することを示せ．
(4)自然数nについて，(2)で定義されたg(x)を用いて
An=∫n^{2n}\frac{1}{{g(x)}3+g(x)}dx
とおくとき，極限値\lim_{n→∞}Anを求めよ．
・・・

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　国立 岩手大学 2011年 第4問

2つの関数をf(x)=\sqrt{x+1}(x≧-1),g(x)=x2-1(x≧0)とし，y=f(x)とy=g(x)で表される曲線をそれぞれC1,C2とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の逆関数がg(x)であることを示せ．
(2)曲線C1と曲線C2の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線C1,C2，および2直線x=0,x=1で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

　国立 三重大学 2011年 第4問

関数f(x)=-1/2x+tanx,g(x)=xcos(x2)について以下の問いに答えよ．
(1)0＜α＜π/2の範囲にあるαでf(α)=0となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間[\;0,\sqrt{π/2}\;]におけるg(x)の増減表を書け．必要ならば(1)のαを用いてよい．
(3)0＜β＜\sqrt{π/2}の範囲にありg^{\prime}(β)=0を満たすβを(1)のαを用いて表せ．ま・・・

　国立 防衛医科大学校 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)a,b,cは正の整数で，a＜b＜c,a+b＜cを満たすものとする．このとき整式ax2-(a2+ab)x+a2b-174がx-cで割り切れるような(a,b,c)の組があればすべて求めよ．
(2)α=1+√3i,β=1-√3iのとき
(\frac{β2-4β+8}{α^{n+2}-α^{n+1}+2αn+4α^{n-1}+α3-2α2+5α-2})3
はいくらか．ただし，nは2以上の自然数，iは虚数単位とする．
(3)y=cosx(0≦x≦π)の逆関数をy=f(x)とお・・・

　国立 茨城大学 2011年 第1問

f(x)=e^{-x2}(x≧0)とする．以下の各問に答えよ．
(1)x≧0に対して，不等式ex＞xおよびex＞\frac{x2}{2}が成り立つことを示せ．
(2)\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0および\lim_{t→+0}tlog1/t=0を示せ．
(3)f(x)は減少関数であることを示せ．また，y=f(x)の逆関数x=g(y)を求めよ．
(4)aを0＜a＜1を満たす実数とする．y軸，y＝f(x)のグラフおよび直線y=aで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転して・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第3問

次の設問に答えよ．
(1)関数f(x)=1/2(x-1/x)(x＞0)の逆関数を求めよ．
(2)関数g(x)=1/2(ex-e^{-x})の逆関数h(x)を求めよ．
(3)上で求めた関数h(x)の導関数を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2010年 第3問

関数f(x)=sinx(-π/2≦x≦π/2)の逆関数をg(x)(-1≦t≦1)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)-1＜x＜1のとき，g´(x)をxを用いて表せ．
(2)曲線y=sin2x(0≦x≦π)と直線y=t(0＜t＜1)の2つの交点のx座標を，それぞれα,β(α＜β)とおくとき，∫_α^βsin2xdxをtと関数gを用いて表せ．
(3)h(t)=2/π∫_α^\be・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)極限
\lim_{n→∞}1/n\sqrt[n]{(n+1)(n+2)・・・(n+n)}
の値は[ア]である．
(2)ある囲碁大会で，5つの地区から男女が各1人ずつ選抜されて，男性5人と女性5人のそれぞれが異性を相手とする対戦を1回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は[イ]である．
(3)△ABCにおいて，辺\ten{・・・