「速度」について

　私立 成城大学 2012年 第2問

ある自動車が速度x\;km/hで走行しているとき，ブレーキをかけてから停止するまでの距離をy\;mとすると，xとyの間にはy=ax2という関係がある．ただし，aは定数とし，x=50のとき，y=25であるとする．
(1)aの値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が0.9秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を51\;m以下にするためには，速度何km/h以下で走行すればよいか．

　国立 九州工業大学 2011年 第3問

正の実数aと関数f(x)=|x2-a2|(-2a≦x≦2a)がある．y=f(x)のグラフをy軸のまわりに回転させてできる形の容器にπa2(　cm　3/　秒　)の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間をT(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さがa2(cm)になったとき，容器中の水の体積をV(cm3)とする．Vをaを用いて表せ．
(3)Tをaを用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてからt・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第2問

Oを原点とするxy平面上を動く点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=(1+t2)cost,y=(1+t2)sint
で与えられている．時刻tにおけるPの速度をベクトルvとし，2つのベクトルベクトルOP，ベクトルvのなす角をθとする．ただし，0≦θ≦πである．
(1)時刻tにおいて，ベクトルベクトルa=(cost,sint),ベクトルb=(-sint,cost)と実数c,dがベクトルv=cベクトルa+dベクトルbを満たすとき，c,dをtを用いて表せ．
(2)t＞0のとき，tan\t・・・

　私立 立教大学 2011年 第3問

座標平面上の点A(1,1)を中心とする円(x-1)2+(y-1)2=1上を，点P0(2,1)から出発して一定の速度で反時計回りに動く点Pと，座標平面上の点B(-1,-1)を中心とするもう1つの円(x+1)2+(y+1)2=1上を，点Q0(-1,0)から出発して反時計回りに動く点Qについて考える．点Pと点Qが各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)図に示すように∠P0APならびに∠Q0BQをθとす・・・

　私立 福岡大学 2011年 第4問

曲線y=-cosx(0≦x≦π)をy軸のまわりに1回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位はcmとする．この容器に毎秒1cm3ずつ水を入れたとき，t秒後の水面の半径をrcmとし，水の体積をVcm3とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．
(1)水の体積Vをrの式で表せ．
(2)水を入れ始めてt秒後のrの増加する速度dr/dtをrの式で表せ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第2問

半径1の円が直線上を一定の速さa(a＞0)で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻0において直線と接している円周上の点をP，時刻0からtまでに円が回転した角度をθとする．次の問いに答えよ．
(1)時刻tにおけるPの速度ベクトルの大きさ|ベクトルv(t)|を求めよ．
(2)積分∫0^{\frac{2π}{a}}|ベクトルv(t)|dtを求めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2t-t2,y=1-t2(0≦t≦1)
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線をCとおく．
(1)0＜t＜1の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻tを求めよ．
(2)(1)で求めた時刻tに対応するC上の点における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)接線ℓと曲線Cは，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線C，接線ℓおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第3問

座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標を
x=etcost,y=etsint
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルvおよびその大きさ|ベクトルv|を求めよ．
(2)t=π/2のとき，ベクトルベクトルvがx軸の正の向きとのなす角αを求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトルベクトルvとベクトルベクトルOPのなす角θは一定であることを示し，θを求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第4問

aをa＞1を満たす定数とする．原点Oと点P(1,0)を線分で結び，点Pと点Q(a,loga)を曲線y=logxで結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，y軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積Vをaを用いて表せ．
(2)mを正の定数とする．この容器に，単位時間あたりmの水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間t(0＜t＜・・・

　国立 電気通信大学 2010年 第2問

座標平面上を運動する動点P(x,y)が時刻tの関数として
x=tcosα,y=tsinα-t2
で与えられているとする．ただし，αは0≦α＜2πを満たす定数とする．直線y=xをℓとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻t=0における動点Pの速度ベクトルvとその大きさ|ベクトルv|を求めよ．
(2)Pが直線ℓ上の点を通る時刻tをすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPがℓ上の点を通るためのαの範囲を求めよ．
以下では，αは(3)・・・