「連立不等式」について

　私立 東京都市大学 2013年 第2問

y=1/2x2で表される放物線Pと，x2+(y-k)2=r2(r＞0)で表される円Qがある．放物線P上に点A(1,1/2)をとるとき，次の問いに答えよ．
(1)点Aにおける放物線Pの接線ℓの方程式を求めよ．
(2)直線ℓが点Aで円Qに接するとき，kとrの値を求めよ．
(3)(2)で求めたkとrにおいて，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
{\begin{array}{l}
y≧\frac・・・

　公立 大阪市立大学 2013年 第2問

座標平面の0≦x≦π/4の範囲において，2つの曲線y=cosxとy=sin2xの交点の座標を(a,b)とし，2つの曲線y=cosxとy=tanxの交点の座標を(c,d)とする．次の問いに答えよ．
(1)a,bおよびd2の値を求めよ．
(2)c＞aであることを示せ．
(3)連立不等式
0≦x≦π/4,cosx≦y≦sin2x,y≧tanx
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

　公立 富山県立大学 2013年 第1問

aは定数とする．xy平面上で連立不等式y+ax-5≦0，0≦x≦2，0≦y≦3が表す領域の面積をSとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a=2のとき，Sの値を求めよ．
(2)a=3のとき，Sの値を求めよ．
(3)a≧1のとき，Sをaを用いて表せ．

　国立 東京大学 2012年 第1問

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える．
x2+(y-1)2≦1,x≧\frac{√2}{3}
直線ℓは原点を通り，Dとの共通部分が線分となるものとする．その線分の長さLの最大値を求めよ．また，Lが最大値をとるとき，x軸とℓのなす角θ(0＜θ＜π/2)の余弦cosθを求めよ．

　国立 北海道大学 2012年 第3問

xy平面上に3点A(a,b)，B(a+3,b)，C(a+1,b+2)がある．不等式y≧x2の表す領域をD，不等式y≦x2の表す領域をEとする．
(1)点Cが領域Dに含まれ，点Aと点Bが領域Eに含まれるようなa,bの条件を連立不等式で表せ．
(2)(1)で求めた条件を満たす点(a,b)の領域Fをab平面上に図示せよ．
(3)(2)で求めた領域Fの面積を求めよ．

　国立 北海道大学 2012年 第4問

実数a,bに対して，f(x)=x2-2ax+b,g(x)=x2-2bx+aとおく．
(1)a≠bのとき，f(c)=g(c)を満たす実数cを求めよ．
(2)(1)で求めたcについて，a,bが条件a＜c＜bを満たすとする．このとき，連立不等式
f(x)＜0　かつ　g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件をa,bを用いて表せ．
(3)一般にa＜bのとき，連立不等式
f(x)＜0　かつ　g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ．

　国立 千葉大学 2012年 第5問

放物線y=x2上の点(a,a2)における接線をℓaとする．
(1)直線ℓaが不等式
y＞-x2+2x-5
の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ．
(2)aが(1)で求めた範囲を動くとき，直線ℓaが通らない点(x,y)全体の領域Dを図示せよ．
(3)連立不等式
{
\begin{array}{l}
(y-x2)(y+x2-2x+5)≦0\\
y(y+5)≦0
\end{array}
.
の表す領域をEとする．DとEの共通部分の面積を求めよ．

　国立 金沢大学 2012年 第3問

log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．次の問いに答えよ．
(1)log_{10}(2/3),log_{10}(1/2)の値を求めよ．
(2)(2/3)m≧1/10,(1/2)n≧1/10を満たす最大の自然数m,nを求めよ．
(3)連立不等式(2/3)x(1/2)y≧1/10,x≧0,y≧0の表す領域を座標平面に・・・

　国立 広島大学 2012年 第1問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)の表す1次変換によって，2点P(1,1)，Q(2,2)は連立不等式1≦x≦2,1≦y≦2の表す領域内の点P´，Q´にそれぞれ移されるものとする．ただし，a,b,c,dは正の実数でa＞cを満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a+b=1およびc+d=1が成り立つことを証明せよ．
(2)4点O(0,0)，R(a,c)，S(a+b,c+d)，T(b,d)を頂点とする・・・

　国立 岩手大学 2012年 第2問

次の連立不等式の表す領域をDとする．
x+2y≦8,3x+y≦9,-7x+2y≦0,y≧0
このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)点P(x,y)がこの領域D内を動くとき，3x+2yの最大値を求めよ．