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（1ページ目：全92問中1問～10問を表示）
nを正の整数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数g(x)を次のように定める．
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1 のとき )\
0&(|x|＞1 のとき )
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし，p,qを実数とする．|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき，次の不等式を示せ．
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・
国立 北海道大学 2015年 第4問ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる試行を考える．
(1)番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ．
(2)番号7のカードが2枚ずつ隣り合い，4枚連続しては並ばない確率を求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第1問nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が連続している確率（すなわち，2つの番号の差の絶対値が1である確率）をnの式で表せ．
\end{・・・
国立 横浜国立大学 2015年 第4問自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．たとえば，42は3+4+・・・+9のように2個以上の連続する自然数の和で表せる．次の問いに答えよ．
(1)2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．
(2)aを0以上の整数とするとき，2aは2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．
(3)a,bを自然数とするとき，2a(2b+1)は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．
国立 鳥取大学 2015年 第4問連続関数f(x)は次の条件を満たす．
f(x)=1+∫0x(x-t)f(t)dt
このとき，次の問いに答えよ．
(1)\phi(x)=f(x)+f´(x)とおくとき，\frac{\phi´(x)}{\phi(x)}を求めよ．
(2)f(x)を求めよ．
国立 東京農工大学 2015年 第4問f(x)=cosx+sinx-1とする．g(x)は
g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4π2}{∫0^{2π}tg(t)dt-3π}
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間0≦x≦2πにおいてf(x)＞0を満たすxの範囲を求めよ．
(2)不定積分∫xf(x)dxを求めよ．
(3)定積分∫0^{2π}t|f(t)|dtの値を求めよ．
(4)g(x)を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・
国立 富山大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・
国立 富山大学 2015年 第2問関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)＞\frac{1}{b-a}{(b-x)f(a)+(x-a)f(b)}(a＜x＜b)が成り立つことを示せ．
(2)cがa＜c＜bを満たすならば
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)(a＜x＜b)
が成り立つことを示せ．
国立 群馬大学 2015年 第4問すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．
