「連続」について

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)f´(0)を求めよ．
(3)f(x)を求めよ．
(4)∫01x\sqrt{1+(f´(x))2}dxを求めよ．

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線x=1，およびx軸，y軸で囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 福井大学 2015年 第2問

1からnまでの番号が1つずつ書かれているn個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から3個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n≧3とする．
(1)n=5のとき，球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率p(n)を求めよ．
(3)球に書かれている3つの数のうち，どの2つも連続していない確率q(n)を求めよ．
(4)p(n)の最大値と，そのときのnの値を求めよ．
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　国立 福井大学 2015年 第1問

1からnまでの番号が1つずつ書かれているn個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から3個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n≧3とする．
(1)n=5のとき，球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率p(n)を求めよ．
(3)球に書かれている3つの数のうち，どの2つも連続していない確率q(n)を求めよ．
(4)p(n)の最大値と，そのときのnの値を求めよ．
\end{en・・・

　国立 岐阜大学 2015年 第1問

10個の文字N，A，G，A，R，A，G，A，W，Aを左から右へ横1列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この10個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)N，R，Wの3文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただしN，R，Wが連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り・・・

　国立 岐阜大学 2015年 第1問

10個の文字N，A，G，A，R，A，G，A，W，Aを左から右へ横1列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この10個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)N，R，Wの3文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただしN，R，Wが連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り・・・

　国立 岩手大学 2014年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)xy+y2+xz+yzを因数分解せよ．
(2)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
ab+b2+ac+bc
を4で割った余りが3であることを示せ．
(3)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
a2b+a2c+ab2+b2c+bc2+ac2+2abc
は6の倍数であることを示せ．

　国立 岩手大学 2014年 第4問

連続な関数f(x)が以下の関係式を満たすとき，次の問いに答えよ．
∫ax(x-t)f(t)dt=2sinx-x+b
ただし，a,bは定数であり，0≦a≦π/2である．
(1)∫axf(t)dtを求めよ．
(2)f(x)を求めよ．
(3)定数a,bの値を求めよ．
(4)∫_π^{3/2π}{f(x)}3dxを求めよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第4問

連続関数f(x)に対してv(x)=∫0xetf(x-t)dtとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)f(x)=xのとき，v(x)を求めよ．
(2)v(x)+f(x)=sin4xのとき，v(x)を求めよ．
(3)v(x)+f(x)=sin4xのとき，\lim_{x→0}\frac{f(x)}{x}を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

関数f(x)とg(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
|xlog\abs{x|}&(x≠0)\phantom{\frac{[]}{2}}\
0\phantom{\frac{[]}{2}}&(x=0)
\end{array}.
g(x)=-x2+1
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示し，これを用いてf(x)はx=0で連続であることを示せ．
(2)f(x)の極値を求め，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)方程式f(x)=g(x)の解はx=-1,1のみであ・・・