「連続」について

　国立 高知大学 2014年 第4問

kは1以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた2k-1枚のカードが1組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i)カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii)ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii)当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，(i)・・・

　国立 秋田大学 2014年 第1問

会社員の3人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの3つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，3人は互いに独立に3店から1つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i)3人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii)3人全員が同じ店を選ぶ．
(iii)2人は同じ店を選び，1人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて3人全員が・・・

　国立 秋田大学 2014年 第1問

会社員の3人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの3つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，3人は互いに独立に3店から1つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i)3人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii)3人全員が同じ店を選ぶ．
(iii)2人は同じ店を選び，1人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて3人全員が・・・

　国立 福井大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an，bnがただ1組存在することを示せ．
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ．
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・

　国立 東京学芸大学 2014年 第4問

f(x)を区間[0,1]で定義された連続な関数とする．このとき，定積分
I=∫01[2f(x)log(x+1)-{f(x)}2]dx
について下の問いに答えよ．
(1)Iの値を最大にするようなf(x)を求めよ．
(2)Iの最大値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

以下の[ト]，[ナ]，[ニ]には三角関数はsinθとcosθのみを用いて記入し，[ヌ]にはxの式，[ネ]にはyの式を記入すること．
座標平面上の2点(1,0)，(0,1)を結ぶ曲線Cが媒介変数θを用いて
{\begin{array}{l}
x=f(θ)\
y=g(θ)
\end{array}.(0≦θ≦π/2)
と表されているとする．いま，関数f(θ)，g(θ)は0≦θ≦・・・

　私立 愛知工業大学 2014年 第2問

x＞0において，つねに正の値をとる連続な関数f(x)がある．xy平面において，0＜a＜bをみたすすべての実数a,bに対して，曲線y=f(x)，x軸，直線x=aおよび直線x=bで囲まれた部分の面積Sは
S=1/a-1/b
であるとする．
(1)f(x)を求めよ．
(2)c＞0とする．曲線y=f(x)上の点(c,f(c))における接線，x軸およびy軸で囲まれた三角形の面積をTとするとき，\lim_{c→∞}Tを求めよ．

　私立 広島修道大学 2014年 第1問

空欄[1]から[11]にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)方程式x2+4x-5=0の解は[1]である．また，不等式x2+4x-5＞0の解は[2]である．
(2)整式f(x)を(x-3)(x+2)で割った余りは4x-3である．このとき，f(x)をx+2で割った余りは[3]である．
(3)0≦θ≦πのとき，関数y=2cos2θ+2√2sinθの最大値は[4]，最小値は[5]である．
(4)3点A(5,-1)，B(2,2)，Cを・・・

　私立 吉備国際大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)x2-2xy+3x-4y+2を因数分解せよ．
(2)x=\frac{2}{√3+1}のときx2+2x-4の値を求めよ．
(3)10個の製品の中に3個の不良品が含まれている中から3個の製品を同時に選び出すとき，不良品が少なくとも1個含まれる確率を求めよ．
(4)連続する7個の自然数で小さい方の4つの数の平方の和が，大きい方の3つの数の平方の和に等しくなるとき，7つの自然数をすべて求めよ．
(5)不等式x2+4x-2＜0を解け．

　公立 愛知県立大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)定積分∫0^πcosmxcosnxdxを求めよ．ただし，m,nは自然数とする．
(2)aとbをa＜bを満たす実数とし，f(x)とg(x)を区間[a,b]で定義された連続な関数とする．また，
∫ab{f(x)}2dx≠0,∫ab{g(x)}2dx≠0
であるとする．このとき，任意の実数tに対して
∫ab{tf(x)+g(x)}2dx≧0
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
{∫abf(x)g(x)dx・・・