「連続」について

　公立 横浜市立大学 2014年 第2問

ある開区間Dで与えられた関数f(x)は，2階微分可能で，第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は連続で，更にf^{\prime\prime}(x)＜0と仮定する．以下の問いに答えよ．
(1)a1＜a2＜a3を満たすDのa1,a2,a3に対して
\frac{f(a2)-f(a1)}{a2-a1}＞\frac{f(a3)-f(a2)}{a3-a2}
を示せ．
(2)x1,x2をDの実数とする．0≦α≦1を満たすαに対して
f(αx1+(1-α)x2)≧αf(x1)+(1-α)f(x2)
を示せ．
(3)x1,x2,x3をDの実・・・

　公立 北九州市立大学 2014年 第4問

コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は0円とする．賞金は，1回目の試行で表なら1円，直前に裏が出て表が出たら1円である．裏が出た直後の試行または1回目の試行から数えてn回（n≧2）続けて表が出ると，このn回目の表に対してn円得られるとする．たとえば，5回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には1+2+0+1+2の合計6円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．
(1)2回コインを投げ，2回と・・・

　公立 京都府立大学 2014年 第3問

区間-1≦x≦1で定義された連続関数f(x)を
12xf(x)+12∫0xf(t)dt=15x3|x|-16x3,f(0)=0
によって定める．曲線C:y=f(x)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(3)曲線Cと直線ℓ:y=aとの区間-1≦x≦1における共有点の個数を，aの値によって分類せよ．
(4)曲線Cと3直線y=-1，x=-1，x=1で囲まれる部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 北海道大学 2013年 第5問

区間-∞＜x＜∞で定義された連続関数f(x)に対して
F(x)=∫0^{2x}tf(2x-t)dt
とおく．
(1)F(x/2)=∫0x(x-s)f(s)dsとなることを示せ．
(2)2次導関数F^{\prime\prime}をfで表せ．
(3)Fが3次多項式でF(1)=f(1)=1となるとき，fとFを求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)を区間0≦x≦1で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
∫0^πxf(sinx)dx=π/2∫0^πf(sinx)dx
(2)a＞1とする．(1)を用いて，積分
∫0^π\frac{x(a2-4cos2x)sinx}{a2-cos2x}dx
を求めよ．

　国立 東京大学 2013年 第5問

次の命題Pを証明したい．
命題P次の2条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する．
(a)Aは連続する3つの自然数の積である．
(b)Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある．

以下の問いに答えよ．
(1)yを自然数とする．このとき不等式
x3+3yx2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x3+(3y+1)x2
が成り立つような正の実数xの範囲を求め・・・

　国立 東京学芸大学 2013年 第4問

x≧0において連続関数f(x)が不等式
f(x)≦a+∫0x2tf(t)dt
をみたしているとする．g(x)=ae^{x2}とするとき，下の問いに答えよ．ただし，aは0以上の定数である．
(1)等式g(x)=a+∫0x2tg(t)dtを示せ．
(2)h(x)=e^{-x2}∫0x2tf(t)dtとするとき，x＞0において不等式h´(x)≦2axe^{-x2}が成り立つことを示せ．
(3)x≧0において不等式f(x)≦g(x)が成り立つことを示せ．

　私立 岡山理科大学 2013年 第2問

3種類の文字O，U，Sを，くり返しを許して1列に6個並べるとき，次のような並べ方はそれぞれ何通りあるか．
(1)Oが含まれないように並べる．
(2)Oが2個以上含まれるように並べる．
(3)O，U，Sがいずれも2個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する3文字も「OUS」とならないように並べる．

　私立 津田塾大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)極限値\lim_{x→0}\frac{x(e^{3x}-1)}{1-cosx}を求めよ．
(2)関数y=f(x)は0≦x≦3において連続で，f(x)＞0とする．曲線y=f(x)，x軸，および直線x=0，x=3により囲まれた図形をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は6πであり，Dを直線y=-1のまわりに1回転してできる回転体の体積は13πである．Dの面積を求めよ．

　私立 久留米大学 2013年 第6問

さいころを連続して振るとき，
(1)同じ数が続けて2回でると終了とする．このとき，n回目で終わる確率は[25]である．ただし，n≧2とする．
(2)n回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，n回目で終わる確率は[26]である．ただし，2≦n≦7とする．