「連続」について

　私立 津田塾大学 2013年 第4問

0≦x≦2πで連続な関数f(x)が
f(x)=cosx∫0^{π/4}f(y)sinydy+sinx
をみたすとき，f(x)を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第6問

数列
{an}:1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,1/6,2/6,3/6,4/6,5/6,・・・
がある．この数列{an}を
1/2\;\biggl|\;1/3,2/3\;\biggl|\;1/4,2/4,3/4\;\biggl|\;1/5,2/5,3/5,4/5\;\biggl|\;1/6,2/6,3/6,4/6,\fr・・・

　公立 滋賀県立大学 2013年 第1問

定数a1＜a2＜a3＜・・・に対して，連続関数fn(x)(n=1,2,・・・)がf1(x)=|x-a1|，f_{n+1}(x)=fn(x)+|x-a_{n+1|}によって定義されている．
(1)a1=1,a2=2のとき，f2(x)の最小値を求めよ．
(2)a1=1,a2=2,a3=3のとき，f3(x)の最小値を求めよ．
(3)nが2以上の自然数であるとき，fn(x)の最小値を求めよ．

　国立 東京大学 2012年 第4問

nを2以上の整数とする．自然数（1以上の整数）のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする．以下の問いに答えよ．
(1)連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ．
(2)連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ．

　国立 広島大学 2012年 第5問

nは3以上の整数とする．1からnまでの整数から連続する2つの整数x,x+1を取り除く．次の問いに答えよ．
(1)n=17のとき，残された整数の総和を個数15で割った値が42/5であったとする．取り除いた2つの整数を求めよ．
(2)n≧39のとき，不等式
1/2n(n+1)-1-2(n-1)＞\frac{205}{11}(n-2)
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数n-2で割った値が\frac{205}{11}であるとする．nと取り除いた2つの整数を求めよ．
\・・・

　国立 千葉大学 2012年 第9問

以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は第2次導関数f^{\prime\prime}(x)が連続で，あるa＜bに対して，f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0を満たしているものとする．このとき
f(b)-f(a)=∫ab(\frac{a+b}{2}-x)f^{\prime\prime}(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離Lだけ離れた次の信号に時刻Tで到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が\frac{4L}{T2}以上である瞬間が・・・

　国立 高知大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
∫log(1+x)dx
(2)関数f(x)が区間[0,1]で連続な増加関数であって，常にf(x)≧0であるものとする．また，nを自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
0≦1/nΣ_{k=1}nf(k/n)-∫01f(x)dx≦1/n{f(1)-f(0)}
(3)f(x)=log(1+x)に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}[1/nlog{・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)aを0でない実数とする．xについての3次方程式x3-a3=0の2つの虚数解をα,βとするとき，\frac{α-β}{α+β}の値を求めよ．
(2)定積分∫_{-\frac{3π}{2}}^{π/2}sin|2x|dxを求めよ．
(3)連続する3つの自然数a,b,cがあり，それらはa2+b2=c2,a＜b＜cをみたすとする．このようなa,b,cはただ1組しかないことを示せ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

a,bを実数とし，a＜bとする．関数f(x)は閉区間[a,b]で連続，開区間(a,b)で少なくとも2回まで微分可能で，f^{\prime\prime}(x)≧0とする．以下の問いに答えよ．
(1)a＜c＜bとする．y=g(x)を点(c,f(c))におけるf(x)の接線とする．a≦x≦bのときg(x)≦f(x)を示せ．
(2)y=h(x)を，(a,f(a))，(b,f(b))の2点を通る直線とする．a≦x≦bのときf(x)≦h(x)を示せ．
(3)a＜c＜bとする．
1/2(b-a)(f´(c)(a+b-2c)+2f(c)\ri・・・

　国立 東京学芸大学 2012年 第4問

袋の中に赤玉と白玉が何個か入っている．袋から玉を1つ取り出して元に戻す試行を繰り返す．1回の試行で赤玉が出る確率をpとするとき，下の問いに答えよ．
(1)2回赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が3以下になる確率を求めよ．
(2)2回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が4以下になる確率を求めよ．
(3)赤玉を取り出した回数と白玉を取り出した回数の差が2になるまで試行を繰り返す．このとき，試行の回数がn以下で赤玉が2回多く出る確率を求めよ．