「連続」について

　国立 筑波大学 2010年 第3問

nを自然数とし，1からnまでの自然数の積をn!で表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)単調に増加する連続関数f(x)に対して，不等式∫_{k-1}kf(x)dx≦f(k)を示せ．
(2)不等式∫1nlogxdx≦logn!を示し，不等式nne^{1-n}≦n!を導け．
(3)x≧0に対して，不等式xne^{1-x}≦n!を示せ．

　国立 島根大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ．
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし，g(x)は微分可能で，その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする．

　国立 島根大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ．
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし，g(x)は微分可能で，その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする．

　国立 山形大学 2010年 第4問

関数f(x)は，すべての実数xに対してf(x+2π)=f(x)を満たす連続な関数とし，∫0^{2π}f(t)dt＞0とする．さらに
g(x)=x3+(3x2-1)∫0^πf(2t+x)dt
とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)すべての実数aに対して∫0af(t)dt=∫_{2π}^{a+2π}f(t)dtが成り立つことを示せ．
(2)すべての実数aに対して∫a^{a+2π}f(t)dt=∫0^{2π}f(t)dtが成り立つことを示せ．
(3)関数g(x)は3次関数であること・・・

　国立 福島大学 2010年 第2問

図1のような11段の階段がある．この階段を一足で1段上っても2段上ってもよい．また，一足で1段上ることと一足で2段上ることを混ぜて上ってもよい．これらの上り方以外は認められず，連続して2段ずつは上れないものとする．次の問いに答えなさい．
(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい．
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 北海学園大学 2010年 第2問

箱の中に赤玉3個，青玉n個，白玉7-n個が入っている．この箱から玉1個を取り出してはもとに戻す試行を繰り返す．この試行を3回繰り返したとき，赤玉を1回，青玉を2回取り出す確率が\frac{9}{250}であるとする．
(1)nの値を求めよ．
(2)3回の試行で赤玉，青玉，白玉をそれぞれ1回ずつ取り出す確率を求めよ．
(3)3回の試行で白玉を1回以上取り出す確率を求めよ．
(4)2回連続で同じ色の玉を取り出すか，または，計3回同じ色の玉を取り出すまで試行を繰り返す．このとき，赤・・・

　私立 津田塾大学 2010年 第1問

数列{an}をa1=1，a2=2，an=a_{n-1}+a_{n-2}(n=3,4,5,・・・)により定義すると，anは整数である．次の問いに答えよ．
(1)この数列の連続する3項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)Sn=Σ_{j=1}n(-1)jaj=-a1+a2-・・・+(-1)nanとおくと，Sn=(-1)na_{n-1}(n=2,3,4,・・・)が成り立つことを示せ．

　私立 関西大学 2010年 第4問

次の[]をうめよ．
(1)x2-3x+5=0の2つの解をα,βとする．このとき，α2+β2=[1]であり，さらにα/β+β/α=[2]である．
(2)xy平面上の3点(1,2)，(2,4)，(3,1)にあと1点Aを加えることにより，それらが平行四辺形の4つの頂点になるとする．このとき，Aのy座標をすべて求めると[3]である．
(3)nは自然数とする．(x+y+1)nを展開したとき，xyの項の係数は90で・・・

　公立 大阪市立大学 2010年 第4問

a,bはa＜bをみたす実数とする．f(x),g(x)は閉区間[\;a,b\;]で定義された連続関数で，g(x)≦f(x)をみたすとする．座標平面上，不等式a≦x≦b,g(x)≦y≦f(x)をみたす点(x,y)全体からなる図形をAとする．Aの面積Sが正のとき，Aの重心のy座標は，
1/S∫ab\frac{{f(x)}2-{g(x)}2}{2}dx
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．
(1)rは0＜r＜1をみたす実数とする．不等式r2≦x2+y2≦1,y≧0・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

1,2,3の3種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を(S)とする：
(S):\qquad1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,・・・
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを(T)とする：
(T):\qquad12311121321222331・・・
次の各問に答えよ．
(1)(S)において，12は5番目の整数である．312は何番目の整数になるか求めよ．
(2)(S)において，2010番目の整数を求めよ．
(3)(T)において，初めて2が3個連続して並ぶ部分の最・・・