「運動」について

　国立 東京工業大学 2015年 第4問

xy平面上を運動する点Pの時刻t(t＞0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている．原点をOとし，時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする．
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき，極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ．
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t＞0)のうち，最も小さいものをt1，次に小さいものをt2とする．このとき，不等式t2-t1＜πを示せ・・・

　国立 京都大学 2014年 第2問

2つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点Cにいる粒子は，その1秒後には点Aまたは点Bにそれぞれ1/2の確率で移動する．この2つの粒子が，時刻0のn秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ．

　国立 九州工業大学 2014年 第3問

関数s(t)はつねにs´(t)＞0をみたし，s(0)=0とする．座標平面上を運動する点Pの座標(x,y)は，時刻tの関数としてx=s(t)，y=1/2{s(t)}2で与えられ，点Pの速度ベクトルv=(dx/dt,dy/dt)は
|ベクトルv|=\frac{1}{\sqrt{1+{s(t)}2}}
をみたすとする．また，α=s(-4/3)，β=s(4/3)とおく．次に答えよ．
(1)\disp・・・

　国立 茨城大学 2013年 第1問

原点をOとする座標平面上を運動する点P(x,y)が
x=sint,y=sin2t(0≦t≦π/2)
で表されるとき，点Pの描く曲線をCとする．（Cは右図のように\\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85218820131}{40}

(1)曲線Cとx軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)0＜t＜π/2のとき，点PにおけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(3)0＜t＜π/2のとき，(2)の接・・・

　公立 岡山県立大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)Σ_{k=1}^{2013}\frac{1}{Σ_{j=1}kj}を求めよ．
(2)実数a,bを係数とする2次方程式x2+ax+b=0が異なる2つの虚数解をもつ．1つの虚数解をαとすると，他の解は2α-4+3iと表すことができる．このとき，a,bの値を求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(3)座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=cos2t,y=sint
で表されるとき，点Pの速さは
v=\sqrt{(dx/dt)2+・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第4問

座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2t-sin2t,y=1-cos2t(0≦t≦π)
で表される．
(1)点Pの時刻t=π/6における速度は([コ],\sqrt{[サ]})である．
(2)点Pの速さは2\sqrt{[シ]([ス]-cos[セ]t)}であり，その速さはt=\frac{π}{[ソ]}のとき最大値[タ]をとる．
(3)点Pの加速度は，その大きさが一定の値[チ]をとり，x・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第1問

以下の設問に答えよ．
(1)初項a，公比rの無限等比級数は|r|＜1のとき収束し，その和が\frac{a}{1-r}となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点(1,1)からx軸の負の向きに1だけ進み，次にy軸の負の向きに1/3だけ進み，次にx軸の負の向きに\frac{1}{32}だけ進み，次にy軸の負の向きに\frac{1}{33}だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

　公立 大阪市立大学 2011年 第2問

座標空間を運動する3点A，B，Cの時刻tにおける座標をそれぞれ(t,0,t)，(√2t,1-2t,√2(1-t))，(-t,-√2t,t)とする．原点をOと記すとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜t＜1/2とする．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOC,ベクトルOB⊥ベクトルOCを示せ．
(2)△ABCの面積S(t)はt(1-2t)であることを示せ．
(3)四面体OABCの体積V(t)の0＜t＜1/2における最大値を求め・・・

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2t-t2,y=1-t2(0≦t≦1)
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線をCとおく．
(1)0＜t＜1の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻tを求めよ．
(2)(1)で求めた時刻tに対応するC上の点における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)接線ℓと曲線Cは，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線C，接線ℓおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第3問

座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標を
x=etcost,y=etsint
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルvおよびその大きさ|ベクトルv|を求めよ．
(2)t=π/2のとき，ベクトルベクトルvがx軸の正の向きとのなす角αを求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトルベクトルvとベクトルベクトルOPのなす角θは一定であることを示し，θを求めよ．