「重心」について

　問題集 センター試験 2015年 第6問

△ABCにおいて，AB=AC=5，BC=√5とする．辺AC上に点DをAD=3となるようにとり，辺BCのBの側の延長と△ABDの外接円との交点でBと異なるものをEとする．
CE・CB=[アイ]であるから，BE=\sqrt{[ウ]}である．
△ACEの重心をGとすると，AG=\frac{[エオ]}{[カ]}である．
ABと・・・

　国立 新潟大学 2015年 第2問

△ABCの外心をOとし，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．ベクトルa，ベクトルb，ベクトルcは
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)100+3ベクトルa・ベクトルb+5ベクトルc・ベクトルa=0が成り立つことを示せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・\v・・・

　国立 新潟大学 2015年 第2問

△ABCの外心をO，重心をGとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルAG+3ベクトルBG+5ベクトルCG=12ベクトルOG
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0を示せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(3)|ベクトルOG|の値を求めよ．
\end・・・

　国立 大分大学 2015年 第2問

△ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をP，辺ACを1:2に内分する点をQとし，辺BC上に点Rがあるとする．
(1)線分PQの中点をMとし，点A，M，Rが一直線上にあるとき，BR:RCを求めなさい．
(2)△ABCの重心Gと△PRQの重心Hが一致するとき，BR:RCを求めなさい．
(3)直線AR，BQ，CPが一点で交わるとき，・・・

　国立 大分大学 2015年 第2問

△ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をP，辺ACを1:2に内分する点をQとし，辺BC上に点Rがあるとする．
(1)線分PQの中点をMとし，点A，M，Rが一直線上にあるとき，BR:RCを求めなさい．
(2)△ABCの重心Gと△PRQの重心Hが一致するとき，BR:RCを求めなさい．
(3)直線AR，BQ，CPが一点で交わるとき，・・・

　国立 大分大学 2015年 第2問

△ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をP，辺ACを1:2に内分する点をQとし，辺BC上に点Rがあるとする．
(1)線分PQの中点をMとし，点A，M，Rが一直線上にあるとき，BR:RCを求めなさい．
(2)△ABCの重心Gと△PRQの重心Hが一致するとき，BR:RCを求めなさい．
(3)直線AR，BQ，CPが一点で交わるとき，・・・

　国立 小樽商科大学 2015年 第4問

四面体OABCにおいて，辺ABの中点をD，辺BCを2:1に内分する点をE，△OCAの重心をF，△DEFの重心をGとする．そのとき，ベクトルOGをベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCで表せ．

　私立 福岡大学 2015年 第5問

3辺OA，OB，OCが互いに直交する四面体OABCにおいて，△ABCの重心をG，辺OBを3:2に内分する点をM，辺OCを1:4に内分する点をNとする．また，△AMNと直線OGとの交点をPとする．このとき，OPとOGの比を求めると，OP:OG=[]である．さらに，AP⊥MNのときOB:OC=[]である．

　公立 大阪市立大学 2015年 第2問

Oを原点とする座標空間において四面体OABCを考える．△ABCの重心をO´，△OBCの重心をA´，△OCAの重心をB´，△OABの重心をC´とする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトルベクトルOAと\overrightarrow{O´A´}は平行であることを示せ．
(2)|ベクトルOA|と|\overrightarrow{O´A´}|の比を求めよ．
(3)△\te・・・

　国立 九州大学 2014年 第3問

鋭角三角形△ABCについて，∠A，∠B，∠Cの大きさを，それぞれA，B，Cとする．△ABCの重心をG，外心をOとし，外接円の半径をRとする．
(1)AとOから辺BCに下ろした垂線を，それぞれAD，OEとする．このとき，
AD=2RsinBsinC,OE=RcosA
を証明せよ．
(2)GとOが一致するならば△ABCは正三角形であることを証明せ・・・