「重心」について

　国立 広島大学 2014年 第3問

四面体OABCにおいて，△OABの重心をF，△OACの重心をGとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOFをベクトルOA，ベクトルOBを用いて表せ．
(2)ベクトルFG\paraベクトルBCであることを示せ．
(3)OB=OC=1，∠BOC=90°のとき，FGの長さを求めよ．

　国立 広島大学 2014年 第3問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=AB=AC=1とする．△OABの重心をF，△OACの重心をGとし，辺OAの中点をMとする．また，∠BOC=2θとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOFをベクトルOA，ベクトルOBを用いて表せ．
(2)ベクトルFG\paraベクトルBCであることを示せ．
(3)△MBCの面積をθを用いて表せ．

　国立 筑波大学 2014年 第1問

f(x)=x3-xとする．y=f(x)のグラフに点P(a,b)から引いた接線は3本あるとする．3つの接点A(α,f(α))，B(β,f(β))，C(γ,f(γ))を頂点とする三角形の重心をGとする．
(1)α+β+γ，αβ+βγ+γαおよびαβγをa,bを用いて表せ．
(2)点Gの座標をa,bを用いて表せ．
(3)点Gのx座標が正で，y座標が負となるような点Pの範囲を図示せよ．
\end{enu・・・

　国立 岩手大学 2014年 第3問

鋭角三角形ABCの重心をGとする．また，ベクトルGA=ベクトルa，ベクトルGB=ベクトルb，ベクトルGC=ベクトルcとおくとき
2ベクトルa・ベクトルb+ベクトルb・ベクトルc+ベクトルc・ベクトルa=-9
ベクトルa・ベクトルb-ベクトルb・ベクトルc+2ベクトルc・ベクトルa=-3
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルa+ベクトルb+ベクトルc=ベクトル0を示せ．
・・・

　国立 岩手大学 2014年 第3問

鋭角三角形ABCの重心をGとする．また，ベクトルGA=ベクトルa，ベクトルGB=ベクトルb，ベクトルGC=ベクトルcとおくとき
2ベクトルa・ベクトルb+ベクトルb・ベクトルc+ベクトルc・ベクトルa=-9
ベクトルa・ベクトルb-ベクトルb・ベクトルc+2ベクトルc・ベクトルa=-3
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルa+ベクトルb+ベクトルc=ベクトル0を示せ．
・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第3問

下図の平行六面体において，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルc=ベクトルOC，ベクトルd=ベクトルODとし，△ACDと線分OFの交点をHとする．さらに，四面体OACDが1辺の長さ1の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△ACDの重心が点Hに一致することを示し，2つの線分OHとHFの比OH:HFを求めよ．
(2)内積ベクトルHE・ベクトルHFの値を求めよ．
(3)△\ten{・・・

　国立 滋賀大学 2014年 第4問

kを正の定数とする．円C:x2+y2-4x-2y+1=0と共有点をもたない直線ℓ:y=-1/2x+kについて，次の問いに答えよ．
(1)kのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)ℓ上の2点A，Bの座標をそれぞれ(2,k-1)，(2k-2,1)とする．点PがC上を動くとき，△PABの重心Qの軌跡を求めよ．
(3)(2)で求めたQの軌跡とCがただ1つの共有点をもつとき，kの値を求めよ．

　国立 徳島大学 2014年 第2問

四面体OABCにおいてベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=1，ベクトルa・ベクトルb=2/3が成り立つとき，ベクトルa・ベクトルc=α，ベクトルb・ベクトルc=βとして次の問いに答えよ．
(1)s,tを実数としてベクトルOH=sベクトルa+tベクトルbと表される点Hを，ベクトルCHがベクトルaおよびベクトルbと垂直となるようにとる．このとき，α・・・

　国立 徳島大学 2014年 第2問

四面体OABCにおいてベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=1，ベクトルa・ベクトルb=2/3が成り立つとき，ベクトルa・ベクトルc=α，ベクトルb・ベクトルc=βとして次の問いに答えよ．
(1)s,tを実数としてベクトルOH=sベクトルa+tベクトルbと表される点Hを，ベクトルCHがベクトルaおよびベクトルbと垂直となるようにとる．このとき，α・・・

　国立 大分大学 2014年 第2問

原点Oを中心とする半径2√2の球面S上に3点A，B，Cがあり，
ベクトルOA・ベクトルOB=4,ベクトルOB・ベクトルOC=5,ベクトルOC・ベクトルOA=6
をみたしている．三角形ABCの重心をGとし，直線OGと球面Sの交点のうちGから遠い方をPとする．
(1)|ベクトルOA|，|ベクトルOG|の値を求めなさい．
(2)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表しなさい．
(3)ベクトルOAとベクトルOP・・・