「重心」について

　国立 東京大学 2011年 第4問

座標平面上の1点P(1/2,1/4)をとる．放物線y=x2上の2点Q(α,α2)，R(β,β2)を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，△　PQR　の重心G(X,Y)の軌跡を求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第10問

三角形ABCの外心をO，重心をG，内心をIとする．
(1)ベクトルOG=1/3ベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ．
(2)kがk≠1/3を満たす実数で，ベクトルOG=kベクトルOAが成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)ベクトルOI・ベクトルBC=0が成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 旭川医科大学 2011年 第2問

平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている．辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa,b,cとし，s=\frac{a+b+c}{2}とおく．さらに，辺BC，CA，ABをそれぞれs-c:s-b,s-a:s-c,s-b:s-aに内分する点をX，Y，Zとする．また，Oを原点とする．次の問いに答えよ．
(1)点NをベクトルON=\frac{(s-a)ベクトルOA+(s-b)ベクトルOB+(s-c)ベクトルOC}{s}と定義するとき，3直線AX，\ten{BY・・・

　国立 長崎大学 2011年 第3問

下図の平行六面体OABC-DEFGを考える．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとおき，次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)三角形ACDと線分OFとの交点をHとする．
ベクトルAH=rベクトルAC+sベクトルAD,ベクトルOH=tベクトルOF
をみたす実数r,s,tを求めよ．また，Hが三角形ACDの重心であることを示せ．
(2)Hは三角形ODBの重心でもあることを示せ．
(3)さらにOA=OC,\・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

四面体OABCの辺AB，辺OCの中点をそれぞれM，Nとし，△ABCの重心をGとする．また，線分OGと線分MNの交点をPとするとき，
ベクトルOP=\frac{1}{[ウ]}ベクトルOA+\frac{1}{[エ]}ベクトルOB+\frac{1}{[オ]}ベクトルOC
である．

　私立 上智大学 2011年 第3問

xyz空間内の正四面体ABCDを考える．頂点A，B，C，Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある．Aの座標は(0,0,1)であり，Bのx座標は正，y座標は0である．また，Cのy座標はDのy座標より大きい．
(1)B，C，Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である．
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)2つの異なる2次方程式x2+3px+4=0，x2+3x+4p=0が共通の実数解を持つとき，pの値は[ア]である．ただし，p≠1とする．
(2)三角形ABCにおいて，BC=6，CA=4，cosC=1/3であるとき，sinAの値は[イ]である．
(3)不等式|2x|+|x-4|＜6を解くと，[ウ]となる．
(4)実数x,yが(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0を満たすとき，x=[エ]，y=[オ]である．・・・