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2つの放物線
C1:y=x2,C2:y=-(x-1)2
がある．aは0でない実数とし，C1上の2点P(a,a2)，Q(-2a,4a2)を通る直線と平行なC1の接線をℓとする．
(1)ℓの方程式をaで表せ．
(2)C2とℓが異なる2つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ．
(3)C2とℓが異なる2つの共有点R，Sをもつとする．線分PQの長さと線分RSの長さが等しくなるとき，aの値を求めよ．
国立 京都大学 2015年 第3問6個の点A，B，C，D，E，Fが下図のように長さ1の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率1/2で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点Aから点Eに至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さをXとする．そのような経路がない場合はXを0とする．このとき，n=0,2,4について，X=nとなる確率を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）
国立 京都大学 2015年 第4問一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて，Pを辺ABの中点とし，点Qが辺AC上を動くとする．このとき，cos∠PDQの最大値を求めよ．
国立 大阪大学 2015年 第3問平面上に長さ2の線分ABを直径とする円Cがある．2点A，Bを除くC上の点Pに対し，AP=AQとなるように線分AB上の点Qをとる．また，直線PQと円Cの交点のうち，Pでない方をRとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)△AQRの面積をθ=∠PABを用いて表せ．
(2)点Pを動かして△AQRの面積が最大になるとき，ベクトルARをベクトルABとベクトルAPを用いて表せ．
\e・・・
国立 一橋大学 2015年 第4問xyz空間において，原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を点Pが動き，点(0,0,√3)を中心とするxz平面上の半径1の円周上を点Qが動く．
(1)線分PQの長さの最小値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．
(2)線分PQの長さの最大値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第2問座標平面上の放物線
Cn:y=x2-pnx+qn\qquad(n=1,2,3,・・・)
を考える．ただし，pn,qnは
p12-4q1=4,pn2-4qn＞0\qquad(n=2,3,4,・・・)
を満たす実数とする．Cnとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓnとする．また，Cnとx軸で囲まれた部分の面積Snは
\frac{S_{n+1}}{Sn}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})3\qquad(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)Cnの頂点のy座標をℓnを用いて表せ．
\mon・・・
国立 神戸大学 2015年 第3問a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・
国立 神戸大学 2015年 第5問a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・
国立 旭川医科大学 2015年 第4問四面体OAPQにおいて，∠AOP=∠AOQ=∠POQ={60}°，OA=1，OP=p，OQ=qとし，頂点Aから平面OPQに下ろした垂線をAHとする．ただし，p≦qとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルAP・ベクトルAQをp,qを用いて表せ．
(2)AHの長さを求めよ．
(3)p+q=3，および△APQの面積が1のとき，以下の値を求めよ．
(1)pq\qquad(2)p\qquad(3) 四面体 \t・・・
国立 岡山大学 2015年 第2問3辺の長さがAB=3，BC=5，CA=7の三角形ABCがある．辺AB，BC，CA上の点P，Q，Rを，AP=BQ=CR=xとなるようにとる．ただし，0＜x＜3である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∠ABCの値を求めよ．
(2)三角形BPQの面積をxの式で表せ．
(3)三角形PQRの面積が最小となるときのxの値を求めよ．
