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m,n(m<n)を自然数とし,
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく.三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし,その三角形の面積をSとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)a2+b2=c2を示せ.
(2)rをm,nを用いて表せ.
(3)rが素数のときに,Sをrを用いて表せ.
(4)rが素数のときに,Sが6で割り切れることを示せ.
国立 神戸大学 2014年 第3問空間において,原点Oを通らない平面α上に一辺の長さ1の正方形があり,その頂点を順にA,B,C,Dとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)ベクトルベクトルODを,ベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCを用いて表せ.
(2)OA=OB=OCのとき,ベクトル
ベクトルOA+ベクトルOB+ベクトルOC+ベクトルOD
が,平面αと垂直であることを示せ.
国立 神戸大学 2014年 第2問m,n(m<n)を自然数とし,
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく.三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし,その三角形の面積をSとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)a2+b2=c2を示せ.
(2)rをm,nを用いて表せ.
(3)rが素数のときに,Sをrを用いて表せ.
(4)rが素数のときに,Sが6で割り切れることを示せ.
国立 神戸大学 2014年 第3問空間において,原点Oを通らない平面α上に一辺の長さ1の正方形があり,その頂点を順にA,B,C,Dとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)ベクトルベクトルODを,ベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCを用いて表せ.
(2)OA=OB=OCのとき,ベクトル
ベクトルOA+ベクトルOB+ベクトルOC+ベクトルOD
が,平面αと垂直であることを示せ.
国立 広島大学 2014年 第1問座標平面上で,原点Oを中心とする半径1の円をCとする.Cの外部にある点P(a,b)からCにひいた2本の接線とCとの接点をH,H´とする.∠OPH=θとするとき,次の問いに答えよ.
(1)PHの長さ,およびsinθをa,bを用いて表せ.
(2)HH´=OPとなるような点Pの軌跡を求めよ.
国立 広島大学 2014年 第3問四面体OABCにおいて,△OABの重心をF,△OACの重心をGとする.次の問いに答えよ.
(1)ベクトルOFをベクトルOA,ベクトルOBを用いて表せ.
(2)ベクトルFG\paraベクトルBCであることを示せ.
(3)OB=OC=1,∠BOC=90°のとき,FGの長さを求めよ.
国立 広島大学 2014年 第5問1辺の長さが1の正六角形において,頂点を反時計回りにP1,P2,P3,P4,P5,P6とする.1個のさいころを2回投げて,出た目を順にj,kとする.P1,Pj,Pkが異なる3点となるとき,この3点を頂点とする三角形の面積をSとする.P1,Pj,Pkが異なる3点とならないときは,S=0と定める.次の問いに答えよ.
(1)S>0となる確率を求めよ.
(2)Sが最大となる確率を求めよ.
(3)Sの期待値・・・
国立 千葉大学 2014年 第1問下図のような1辺の長さ10cmの正方形ABCDがある.点Pおよび点Qは時刻0にAおよびBをそれぞれ出発し,正方形ABCDの周上を反時計回りに毎秒1cm進む.また,点Rは時刻0にBを出発し,正方形ABCDの周上を反時計回りに毎秒2cm進む.点RがAに達するまでに△PQRの面積が35cm2となる時刻をすべて求めよ.
\begin{center}
\begin{zahyou*}%
[ul=10mm,Ueyohaku=1em,
Hidariyohaku=1em,%
S・・・
国立 千葉大学 2014年 第2問座標平面上に,原点を中心とする半径1の円と,その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある.円周上の点(cosθ,sinθ)(ただし0<θ<π/2)における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ.また,その三角形の面積を最大にするθを求めよ.
国立 東北大学 2014年 第3問tを正の実数とする.三角形OABの辺OAを2:1に内分する点をM,辺OBをt:1に内分する点をNとする.線分ANと線分BMの交点をPとする.
(1)ベクトルOPをベクトルOA,ベクトルOBおよびtを用いて表せ.
(2)直線OPは線分BMと直交し,かつ∠AOBの二等分線であるとする.このとき,辺OAと辺OBの長さの比とtの値を求めよ.