「長さ」について

　国立 金沢大学 2015年 第3問

座標平面上で，x座標とy座標がともに0以上の整数である点を，ここでは格子点とよぶ．格子点(0,0)から格子点(k,ℓ)へ，両端点がともに格子点であり長さが1の線分を用いて，格子点(0,0)から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える．例えば，格子点(0,0)から格子点(3,1)へつなぐ方法の数は4である．次の問いに答えよ．
(1)格子点(0,0)から格子点(4,0)へつなぐ方法の数と，格子点(0,0)から格子点(2,2)へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件k+ℓ=5を満たす格子・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第3問

次の\tocichi，\tocniに答えよ．
\mon[\tocichi]次の5つの定積分を求めよ．（\tocni(4)で用いる．）
I1=∫0^πxsinxdx,I2=∫0^πx2cosxdx,I3=∫0^πsin2xdx
I4=∫0^πxcosxsinxdx,I5=∫0^πsin2xcosxdx
\mon[\tocni]関数y=sinxのグラフを曲線Cとする．C上の点O(0,0)における接線をℓ1・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第4問

四面体ABCDは
(i)BA=\sqrt{66}，BC=7，BD=\sqrt{65}
(ii)ベクトルBA・ベクトルBC=28，ベクトルBC・ベクトルBD=35，ベクトルBD・ベクトルBA=40
を満たす．頂点Aから平面BCDに下ろした垂線をAHとする．
(1)辺ACの長さを求めよ．
(2)ベクトルBHをベクトルBC，ベクトルBDを用いて表せ．
(3)線分CHの長さを求めよ．
(4)面ABCを直線\ten{A・・・

　国立 九州大学 2015年 第2問

1辺の長さが1である正四面体OABCを考える．辺OAの中点をP，辺OBを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)線分PQの長さと線分PRの長さを求めよ．
(2)ベクトルPQとベクトルPRの内積ベクトルPQ・ベクトルPRを求めよ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第1問

△ABCの3辺の長さをBC=a，AC=b，AB=cとし，条件
a+b+c=1,9ab=1
が成り立つとする．以下の問いに答えよ．
(1)aの値の範囲を求めよ．
(2)θ=∠Cとするとき，cosθの値の範囲を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第3問

aとbを正の実数とする．△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=a，CX1=bとする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直・・・

　国立 熊本大学 2015年 第3問

△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=1，CX1=8とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの・・・

　国立 熊本大学 2015年 第3問

△ABCにおいて，∠Bと∠Cは鋭角とする．点Aを通り辺BCに直交する直線を引き，辺BCとの交点をX1とし，線分AX1の長さを1とする．また，BX1=1，CX1=8とする．各n=1,2,3,・・・に対して以下の操作を行う．
辺BC上の点Xnを通り辺ACに平行な直線を引き，辺ABとの交点をYnとする．また，点Ynを通り辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの・・・

　国立 香川大学 2015年 第1問

図のような一辺の長さが1の立方体OABC-DEFGにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとする．Mを辺OCの中点，R，Sをそれぞれ辺AE，辺GF上の点とする．AR=r，GS=s，∠RMS=θとおくとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルMR，ベクトルMSを，それぞれr,s,ベクトルa,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(2)cosθをr,sを用い・・・

　国立 香川大学 2015年 第2問

図1のように，AB=AC=5，BC=6の二等辺三角形ABC内に，半径が等しい2つの円O1，O2が次の2つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円O1と円O2は外接する．
円O1は辺ABと辺BCに接し，円O2は辺ACと辺BCに接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)辺BCの中点をMとしたとき，線分AMの長さを求めよ・・・