「長さ」について

　国立 三重大学 2015年 第2問

平面上の3点A，B，Cが，AB=3，AC=4，BC=2を満たしているとする．またB´はAからCに向かう半直線上にあり，AB´=8となる点とする．A´はBからCに向かう半直線上にあり，BA´＞BCかつ∠B´A´C=∠BACとなる点とする．さらにA，Bを通る直線と，A´，B´を通る直線の交点をDとする．以下の問い・・・

　国立 名古屋大学 2015年 第1問

座標平面上の円C:x2+(y-1)2=1と，x軸上の2点P(-a,0)，Q(b,0)を考える．ただし，a＞0，b＞0，ab≠1とする．点P，QのそれぞれからCにx軸とは異なる接線を引き，その2つの接線の交点をRとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)直線QRの方程式を求めよ．
(2)Rの座標をa,bで表せ．
(3)Rのy座標が正であるとき，△PQRの周の長さをTとする．Tをa,bで表せ．
(4)2点P，Qが，条件・・・

　国立 茨城大学 2015年 第4問

xy平面において，関数y=\frac{1}{√x}が表す曲線をCとし，C上の点P(t,\frac{1}{√t})を考える．ただし，t＞0とする．点Pにおける曲線Cの接線がx軸と交わる点をQとする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を求めよ．
(2)曲線C，x軸，直線x=t，および点Qを通りx軸に垂直な直線で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分PQの長さをL(t)・・・

　国立 茨城大学 2015年 第2問

座標平面上の相異なる3点P，Q，Rが2つの条件
{\begin{array}{l}
|ベクトルPQ|=|ベクトルQR|\
ベクトルQP・ベクトルQR=-1/3\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.・・・・・・(*)
を満たしながら動くものとする．|ベクトルPQ|をaとする．以下の各問に答えよ．
(1)|ベクトルPR|をaで表せ．
(2)∠PQR=2/3πのときのaを求めよ．また，∠PQR=πのと・・・

　国立 信州大学 2015年 第1問

原点を中心とする半径1の円Oの上に，3点A(0,1)，B(-\frac{√3}{2},-1/2)，C(\frac{√3}{2},-1/2)をとる．線分ACの中点をM，線分BCの中点をNとする．2点M，Nを通る直線が円Oと交わる2点のうち，Nに近い方の交点をQとする．このとき，線分NQの長さを求めよ．

　国立 愛知教育大学 2015年 第7問

1辺の長さが4の正四面体OABCがある．点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上の点とし，OP，OQ，ORの長さをそれぞれa,b,b（ただし，0＜a＜4，0＜b＜4）とする．
(1)cos∠QPRをa,bを用いて表せ．
(2)b=2とし，点Pは∠QPRの大きさを最大にする点とする．このとき，aの値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，△PQRの面積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

空間内に，一辺の長さ1の正四面体OABCがある．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとするとき，次の問に答えよ．
(1)辺ABの中点をDとし，また，辺OCをk:(1-k)に内分する点をEとする．ただし，0＜k＜1とする．このとき，ベクトルDEを，ベクトルa，ベクトルb，ベクトルcおよびkを用いて表せ．
(2)ベクトルDEの大きさ|ベクトルDE|をkを用いて表せ．
(3)内積ベクトルAB・ベクトルDEをkを用いて表せ．
(4)\tria・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

関数f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x2}}について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)t＞0を媒介変数として，x=f´(t)，y=f(t)-tf´(t)で表される曲線の概形を描け．
(3)(2)の曲線の接線がx軸とy軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[シ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)式(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)を展開したときのxyzの係数は[ア]である．
(2)実数x,yが\frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0を満たすとき，x=[イ]，y=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(3)定積分∫_{-2}2x|x-1|dxを求めると[エ]である．
(4)2^{1/2},3^{1/3},5^{1/5}の大小関係は[オ]＜[カ]＜\kakk・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)AB=3，BC=4，CD=5，DA=6をみたす四角形ABCDを考える．この四角形の面積をFとすると
F=[1][2]sinB+[3][4]sinD
が成り立つ．余弦定理を用いれば
F2=[5][6][7]-[8][9][10]cos(B+D)
を得る．B+D=πのとき，Fは最大値
6\sqrt{[11][12]}
をとる．
(2)辺の長さが2√3の正四面体Fがある．Fの内部に中心をもち，Fのどの辺とも高々1・・・