「長さ」について

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

3種類の記号a,b,cから重複を許してn個を選び，それらを一列に並べて得られる長さnの記号列を考える．このような記号列のなかで，aがちょうど偶数個含まれるようなものの総数をg(n)とする．ただし，0個の場合も偶数個とみなす．たとえば，g(1)=2，g(2)=5である．
(1)自然数n≧1に対してg(n+1)=g(n)+3nが成り立つことを示せ．
(2)g(n)を求めよ．
(3)一般に，aを含むm種類の記号から重複を許してn個を選び，それらを一列に並べて得られる長さnの記号列を考える．ただし，m\ge・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第3問

平面上に長さ1のベクトルベクトルnがある．また，aはa＞1をみたす定数とする．平面上のベクトルベクトルxに対して，ベクトルベクトルyを
ベクトルy=ベクトルx-a(ベクトルx・ベクトルn)ベクトルn
により定める．ただし，ベクトルx・ベクトルnはベクトルの内積を意味し，a(ベクトルx・ベクトルn)はそのa倍の実数を表している．
(1)すべてのベクトルベクトルxに対して|ベクトルx|=|ベクトルy|が成り立つための必要十分条件は，a=2であることを示せ．
(2)\vect・・・

　私立 北星学園大学 2015年 第2問

3辺の長さがa,b,cである△ABCの面積をS，内接円の半径をrとする．以下の問に答えよ．
(1)a=3，b=7，c=8のときSを求めよ．
(2)S=1/2r(a+b+c)を証明せよ．
(3)a=3，b=7，c=8のときrを求めよ．

　私立 東北学院大学 2015年 第2問

一辺の長さが1の正五角形ABCDEがある．ベクトルa=ベクトルAB，ベクトルb=ベクトルAE，l=|ベクトルEC|とするとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ABとECが平行であることに注意して，ベクトルACをベクトルa，ベクトルb，lを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbをlを用いて表せ．
(3)lを求めよ．

　私立 広島工業大学 2015年 第7問

下図のような∠B=∠C={30}°の二等辺三角形ABCにおいて，△ABCの外接円の中心をO，半径を√3とする．さらに，弧AC上にAP=PCとなる点Pをとる．次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)辺AB，BCの長さを求めよ．
(2)線分BPの長さを求めよ．
(3)∠BPCおよびCPの長さを求めよ．
(4)四角形ABCPの面積を求めよ．

　私立 日本女子大学 2015年 第3問

座標平面上に点A(a3,b3)がある．ただし，a＞0，b＞0とする．点Aを通る直線ℓがx軸，y軸の正の部分と交わり，それぞれの交点をP，Qとする．直線ℓがx軸となす鋭角をθとし，線分PQの長さをf(θ)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)をa,b,sinθ,cosθを用いて表せ．
(2)0＜θ＜π/2のとき，f(θ)が最小となるθの値をαとおく．tanαとf(α)・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

平行四辺形ABCDにおいて，AD=6，∠A={120}°，ベクトルAD=ベクトルa，ベクトルAB=ベクトルb，AB=xとする．点Aから直線CDに垂線APを引き，点Aを通り辺ADに垂直な直線と対角線BDの交点をQとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)線分APの長さを求めなさい．
(2)ベクトルAQをベクトルa，ベクトルb，xの式で表しなさい．
(3)AP=AQが成り立つときの辺ABの長さを求め・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

座標空間に3点O(0,0,0)，A(0,2,2)，B(3,-1,2)がある．三角形OABの周上または内部の点PはAP=√2，ベクトルOP⊥ベクトルAPを満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)三角形OBPの面積を求めなさい．
(3)点Qが点Aを中心とする半径√2の球面上を動くとき，点Bから直線OQに引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

　公立 大阪市立大学 2015年 第1問

a＞0，b＞0とする．xy平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線y=-aと交わる点をPとし，直線x=bと交わる点をQとする．Pのx座標をpとし，線分PQの長さをLとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)L2をa,b,pを用いて表せ．
(2)a,bを定数とし，pをp＜0の範囲で変化させるとき，L2を最小にするpの値を求めよ．
(3)(2)で求めたpの値をp0とする．また，cをa^{2/3}+b^{2/3}=c^{2/3}を満たす正の実数とする．p=p0の・・・