「集合」について

　国立 岡山大学 2015年 第2問

座標空間内に3点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)をとり，2つのベクトルベクトルAPとベクトルBP+ベクトルCPの内積が0になるような点P(x,y,z)の集合をSとする．3点A，B，Cを通る平面をαとするとき，次の問いに答えよ．
(1)集合Sは球面であることを示し，その中心Qの座標と半径rの値を求めよ．
(2)原点Oから最も遠い距離にあるS上の点の座標を求めよ．
(3)(1)で求めた点Qは，平面α上に・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第5問

nを自然数，iを虚数単位とする．集合I1,I2,I3,I4，およびAを
I1={k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I2={-k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I3={ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I4={-ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
A=I1∪I2∪I3∪I4∪{0}
とする．集合Aの要素が1つずつ書かれたカードが4n+1枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第5問

nを自然数，iを虚数単位とする．集合I1,I2,I3,I4，およびAを
I1={k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I2={-k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I3={ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I4={-ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
A=I1∪I2∪I3∪I4∪{0}
とする．集合Aの要素が1つずつ書かれたカードが4n+1枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数，iを虚数単位とする．集合I1,I2,I3,I4，およびAを
I1={k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I2={-k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I3={ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I4={-ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
A=I1∪I2∪I3∪I4∪{0}
とする．集合Aの要素が1つずつ書かれたカードが4n+1枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている・・・

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[ク]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ベクトルベクトルa,ベクトルb,ベクトルcが，|ベクトルa|=5，|ベクトルb|=2，|ベクトルa-ベクトルb|=\sqrt{13}，|ベクトルc|=|ベクトルa-tベクトルb|の関係を満たすとき，|ベクトルc|の最小値は[ア]である．ただし，tは実数とする．
(2)整式f(x)をx+5で割ると余りが-11，(x+2)2で割ると余りがx+3となる．このとき，f(x)を(x+5)(x+2)2で割ると余りは[イ]である．
(3)全体集合U・・・

　私立 上智大学 2015年 第3問

aを実数とし，f(x)=(x-a)(x2-2x-11)とおく．集合
A={x\;\bigl|\;f(x)＜0,x　は実数　}
を考える．また，nを整数とし，集合
In={x\;\bigl|\;x＞n,x　は実数　}
Jn={x\;\bigl|\;x＜n,x　は実数　}
を考える．
(1)a=-4のとき，Jn\supsetAとなるnの最小値は[ヘ]であり，Jn\subsetAとなるnの最大値は[ホ]である．
(2)a=-4，n=-3のとき，In∩Aに含まれる整数の個数は\kakko{マ・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第5問

方程式y=|x|を満たす座標平面上の点(x,y)全体の集合Bを
B={(x,y)\;\bigl|\;点(x,y)は方程式y=|x|を満たす}
と表す．同様に，集合Cr(a,b)，Dをそれぞれ
Cr(a,b)={(x,y)\;\bigl|\;点(x,y)は方程式(x-a)2+(y-b)2=r2を満たす}，
\qquad\;\!D={(x,y)\;\bigl|\;点(x,y)は不等式y≦|x|を満たす}
で定める．ただし，a,bは実数，rは正の実数とする．
\be・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・