「集合」について

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第8問

xを実数とする．全体集合を実数全体の集合Rとし，部分集合A,B,Cは以下のように定める．
A={x\;|\;2x-1≦|x-2|}
B={x\;|\;x2-x＜0}
C={x\;|\;x2+x≦0}
このとき，A∩(\overline{B∪C})を求めよ．

　国立 大阪大学 2014年 第1問

iは虚数単位とし，実数a,bはa2+b2＞0を満たす定数とする．複素数(a+bi)(x+yi)の実部が2に等しいような座標平面上の点(x,y)全体の集合をL1とし，また(a+bi)(x+yi)の虚部が-3に等しいような座標平面上の点(x,y)全体の集合をL2とする．
(1)L1とL2はともに直線であることを示せ．
(2)L1とL2は互いに垂直であることを示せ．
(3)L1とL2の交点を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第1問

自然数nに対し，3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x1,x2,・・・,xn)の全体の集合をSnとおく．Snの要素(x1,x2,・・・,xn)に対し，次の2つの条件を考える．
条件C_{12}：1≦i＜j≦nである整数i,jの組で，xi=1，xj=2を満たすものが少なくとも1つ存在する．
条件C_{123}：1≦i＜j＜k≦nである整数i,j,kの組で，xi=1，xj=2，xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する．
例えば，・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第4問

行列I,J,OをそれぞれI=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，J=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とする．また，実数a,bを用いてaI+bJと表される行列全体の集合をUとおく．行列A,BがUに属するとき，以下の問に答えよ．
(1)ABはUに属することを示せ．
(2)AB=BAであることを示せ．
(3)AB=Oと仮定する．このときA=OまたはB=Oであることを示せ．
\m・・・

　国立 大分大学 2014年 第3問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 大分大学 2014年 第4問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 宇都宮大学 2014年 第2問

下の表のように奇数が並んでいる．上からm行，左からn列にある数をa_{m,n}と表す．例えばa_{2,3}=15である．このとき，次の問いに答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c}
\hline
1&3&7&13&21\\hline
5&9&15&23&・・・\\hline
11&17&25&・・・&・・・\\hline
19&27&・・・&・・・&・・・\\hline
29&・・・&・・・&・・・&・・・\
\end{tabular}
\end{center}
(1)a_{1,n}をnを用い・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)AB=1，∠A={90}°を満たす直角二等辺三角形ABCにおいて，辺ABの中点をP，辺ACを2:1に内分する点をQ，線分CPと線分BQの交点をRとする．このとき，線分ARの長さを求めよ．
(2)(1/3)^{26}を小数で表すと，小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし，必要ならばlog_{10}3=0.4771として計算せよ．
(3)kを実数とし，不等式x2-2x-3＞0，x・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)1から15までの自然数全体からなる集合{1,2,・・・,15}の部分集合で，10個の要素からなり，すべての要素の和が56以上になるものは全部で\kakkofour{30}{31}{32}{33}個ある．
(2)女子7人と男子4人がいる．その中から3人を選び，3個の異なるお菓子を1人に1個ずつ与える．ただし，2人以上の女子を選ばなければならないとすると，与える方法は[34][35][36]通りである．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

aを実数とする．2次関数
f(x)=x2-ax+1
の区間0≦x≦1における最大値をM(a)，最小値をm(a)と表す．
(1)2つの関数b=M(a)とb=m(a)のグラフをかけ．
(2)bを実数とする．2次方程式
x2-ax+1-b=0
が区間0≦x≦1において少なくとも1つの解を持つような点(a,b)全体の集合を，(1)を用いて斜線で図示せよ．