「集合」について

　私立 西南学院大学 2012年 第2問

実数aに対して，集合A,B,Cおよび全体集合Uが次のように定義されている．
\begin{array}{l}
A={2,-a+5,a2-2a+1,a2+a-6}\
B={4,a2-6a+8,a2-6a+9}\
C={a2-a-2,a3-8a2+19a-12}\
U=A∪B∪C
\end{array}
いまA∩B∩C={0}のとき，以下の問に答えよ．
(1)a=[キ]である．
(2)A∩B={0,[ク]}である．
(3)(\overline{A}∪\overline{B})∩(A∪C)={[ケ],[コ]}である．ただし，[ケ]＜\k・・・

　私立 上智大学 2012年 第3問

座標平面上の点(x,y)のうち，x,yがともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合Aを次のように定義する．
A={(x,y)\;|\;x≧0,y≧0,16＜x2+y2≦36,x　と　y　は整数　}
(1)Aの点は全部で[ム]個ある．
(2)格子点上を1秒間に右または上に1動く点Pを考える．Pは原点から出発し，Aの点の1つに到達したら停止する．このとき，Pが到達できないAの点は全部で[メ]個ある．以下，Pが到達できるAの・・・

　私立 北星学園大学 2012年 第1問

xの2次不等式を
\begin{array}{lll}
x2+2x-2＜0&&・・・・・・①\
x2-2ax+a2-1＞0&&・・・・・・②
\end{array}
とする．以下の問に答えよ．
(1)①を解け．
(2)②を解け．
(3)①を満たすxの集合をA，②を満たすxの集合をBとする．A\subsetBであるとき，aの値の範囲を求めよ．

　私立 杏林大学 2012年 第1問

[カ]，[キ]の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを1ずつ選べ．
袋の中に，1から13までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている．この袋から3枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順にx,y,zと定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組(x,y,z)を，重複なく集めてできる集合
U={(x,y,z)\;|\;x,y,z　はカードを取り出して定められる数　}
を全体集合と定める・・・

　私立 北海道科学大学 2012年 第2問

U={n\;|\;n　は　1　から　100　までの自然数　}を全体集合として，その部分集合を
A={n\;|\;n　は　2　の倍数　}
B={n\;|\;n　は　3　の倍数　}
とする．このときA∪Bに属する要素の個数は[1]であり，\overline{A}∩\overline{B}に属する要素の個数は[2]である．

　私立 安田女子大学 2012年 第2問

整数を要素とする次の3つの集合を考える．
\begin{array}{l}
A={1,3,4x4-5x2+3}\
B={2,x+2xy+y}\
C={1,y+3}
\end{array}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)A={1,2,3}となるxの値をすべて求めよ．
(2)B\subsetAとなるx,yの値の組をすべて求めよ．
(3)B=Cかつ集合A∩B∩Cの要素の数がただ一つだけとなるx,yの値の組をすべて求めよ．

　公立 大阪市立大学 2012年 第4問

|a2-2b2|=1をみたす整数a,bによって，(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})と表される2次の正方行列全体の集合をUとする．このとき，Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})に対して，f(A)=a+√2bとおく．次の問いに答えよ．
(1)二つの行列AとBがUに属するならば，積ABもUに属することを示し，さらにf(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ．
(2)Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第4問

xy平面上の点A(-1,0)，B(1,0)，P(x,y)に対して，ベクトルベクトルa，ベクトルbを各々ベクトルa=ベクトルAP，ベクトルb=ベクトルBPと定める．次の問に答えなさい．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbをx,yを用いて表しなさい．
(2)\frac{x2+y2-1}{\sqrt{(x-1)2+y2}\sqrt{(x+1)2+y2}}=\frac{1}{√2}を満たす点(x,y)全体の集合を図示しなさい．

　国立 京都大学 2011年 第5問

xyz空間で，原点Oを中心とする半径√6の球面Sと3点(4,0,0)，(0,4,0)，(0,0,4)を通る平面αが共有点を持つことを示し，点(x,y,z)がその共有点全体の集合を動くとき，積xyzが取り得る値の範囲を求めよ．

　国立 大阪大学 2011年 第2問

実数の組(p,q)に対し，f(x)=(x-p)2+qとおく．
(1)放物線y=f(x)が点(0,1)を通り，しかも直線y=xのx＞0の部分と接するような実数の組(p,q)と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組(p1,q1),(p2,q2)に対して，f1(x)=(x-p1)2+q1およびf2(x)=(x-p2)2+q2とおく．実数α,β(　ただし　α＜β)に対して
f1(α)＜f2(α)　かつ　f1(β)＜f2(β)
であるならば，区間α≦x≦βにおいて不等式f1(x)＜・・・