「集合」について

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

原点をOとする座標空間において，2点A(3,3,4),B(1,0,0)がある．\\
次の条件を満たす点Pの集合をCとする．
|ベクトルAP|=1,ベクトルOB・ベクトルAP=0
また，次の条件を満たす点Qの集合をSとする．
|\overrightarrow{　OQ　}|=1
次の設問に答えよ．
(1)点QをS上の点とするとき，|\overrightarrow{　AQ　}|の最大値と最小値を求めよ．
(2)点PをC上の点とし，点QをS上の点とするとき，|\overrightarrow{　PQ　}|の最大値と最小値を求めよ．

　私立 上智大学 2011年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．
自然数n=1,2,3,・・・に対して，nが[√n]の整数倍で表せるとき，そのようなnを小さいものから順に並べて
n1,n2,n3,・・・
とする．
(1)n5=[マ]である．
(2)自然数pに対して，[√n]=pをみたす自然数nの集合をMpとする．Mpの要素でpの整数倍であるものは全部で[ミ]個ある．
(3)自然数mに対して，
Sm=Σ_{i=1}mni
とおく．k≧1のとき，S_{3k-2}・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第2問

以下の問に答えよ．
(1)次の値を求めよ．
\begin{array}{lllll}
①log236-log29&&②log3\sqrt{729}&&③43×(23)^{-2}\
④\sqrt[3]{3}\div√9×\sqrt[4]{27}&&⑤sin225°&&⑥tan210°\phantom{\frac{[]}{1}}
\end{array}
(2)正の整数の集合A,Bがある．ここでA={2n\;|\;10≦2n≦200,n　は正の整数　}，B={m2\;|\;10≦m2≦200,・・・

　私立 愛知工業大学 2011年 第4問

次の[]を適当に補え．
(1)2つの自然数x,y(x＜y)の積が588で，最大公約数が7であるとき，この2つの自然数の組(x,y)は(x,y)=[]である．
(2)xy平面において，2次関数y=f(x)のグラフが点(2,5)を頂点とし，点(-1,-4)を通る放物線であるとき，f(x)=[]である．また，このグラフをx軸方向に[]，y軸方向に[]だけ平行移動すればy=-x2+10x-21のグラフになる．
(3)円に内接する四角形ABCDにおいて，∠A={60}°，\te・・・

　私立 千葉工業大学 2011年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)放物線C:y=x2+ax+bが2直線L1:y=-4x+2，L2:y=2x-1の両方と接している．このとき，a=[アイ]，b=[ウ]であり，CとL1との接点のx座標は[エオ]，CとL2との接点のx座標は[カ]である．
(2)整数を要素とする2つの集合A={2,6,5a-a2}，B={3,4,3a-1,a+b}がある．4が共通部分A∩Bに属するとき，a=[キ]または[ク]（ただし，[キ]＜[ク]）である．さらにA∩B={4,6}であるとき，b=・・・

　公立 兵庫県立大学 2011年 第5問

全生徒に対し，英語と数学の試験を実施した．英語の試験で80点以上の生徒の集合をA，数学の試験で80点以上の生徒の集合をBとするとき，次の集合を，記号を用いて表しなさい．
(1)英語または数学が80点未満の生徒の集合
(2)英語と数学が共に80点未満の生徒の集合
(3)英語が80点以上であって数学が80点未満の生徒の集合

　国立 広島大学 2010年 第5問

4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする．すなわち，
A={4k+1\;|\;k　は0以上の整数　}
とする．次の問いに答えよ．
(1)xおよびyがAに属するならば，その積xyもAに属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数mに対して，3mはAに属することを証明せよ．
(3)m,nを0以上の整数とする．m+nが偶数ならば3m7nはAに属し，m+nが奇数ならば3m7nはAに属さないことを証明せよ．
(4)m,nを0以上の整数とする．3^{2m+1}7^{2n+1}の正の約数のうちAに属する数・・・

　国立 横浜国立大学 2010年 第2問

1個のいびつなさいころがある．1,2,3,4の目が出る確率はそれぞれp/2であり，5,6の目が出る確率はそれぞれ\frac{1-2p}{2}である．ただし，0＜p＜1/2とする．このさいころを投げて，xy平面上の点Qを次のように動かす．
\mon[(i)]1または2の目が出たときには，Qをx軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)]3または4の目が出たときには，Qをy軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)]5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
\end{enume・・・

　国立 愛媛大学 2010年 第9問

nを自然数とし，集合A,Bを
\begin{align}
A={a\;|\;a&　は条件(★)をみたす自然数　}\nonumber\\
B={a\;|\;a&　は条件(☆)をみたす自然数　}\nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．
\mon[(★)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの実数解α,βをもち，α-βは整数である．
\mon[(☆)]2次方程式x2-ax+2n=0は異なる2つの整数解α,βをもつ．

(1)2つの集合・・・

　国立 千葉大学 2010年 第11問

f(x)は実数全体で定義された関数とする．実数aに関する条件(P)を考える．
(P)正の実数rを十分小さく選べば，|x-a|＜rをみたすすべての実数xに対してf(x)≦f(a)が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数aが条件(P)をみたし，かつ，f(x)がx=aで微分可能ならば，f´(a)=0であることを証明せよ．
(2)関数f(x)が
f(x)={
\begin{array}{ll}
|x|-x&(x＜1　のとき　)\\
\abs{x2-6x+8・・・