「面積」について

　国立 広島大学 2015年 第2問

座標平面上の放物線
Cn:y=x2-pnx+qn\qquad(n=1,2,3,・・・)
を考える．ただし，pn,qnは
p12-4q1=4,pn2-4qn＞0\qquad(n=2,3,4,・・・)
を満たす実数とする．Cnとx軸との二つの交点を結ぶ線分の長さをℓnとする．また，Cnとx軸で囲まれた部分の面積Snは
\frac{S_{n+1}}{Sn}=(\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}})3\qquad(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)Cnの頂点のy座標をℓnを用いて表せ．
\mon・・・

　国立 神戸大学 2015年 第1問

座標平面上の2つの曲線y=\frac{x-3}{x-4}，y=1/4(x-1)(x-3)をそれぞれC1，C2とする．以下の問に答えよ．
(1)2曲線C1，C2の交点をすべて求めよ．
(2)2曲線C1，C2の概形をかき，C1とC2で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 神戸大学 2015年 第3問

aを正の実数とする．座標平面上の曲線Cを
y=x4-2(a+1)x3+3ax2
で定める．曲線Cが2つの変曲点P，Qをもち，それらのx座標の差が√2であるとする．以下の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)線分PQの中点とx座標が一致するような，C上の点をRとする．三角形PQRの面積を求めよ．
(3)曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP´とし，点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ・・・

　国立 広島大学 2015年 第3問

座標平面上に原点Oと2点A(1,0)，B(0,1)をとり，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOBとする．点Cは|ベクトルOC|=1，0°＜∠AOC＜{90}°，0°＜∠BOC＜{90}°を満たすとする．ベクトルOA・ベクトルOC=tとするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOCをベクトルa，ベクトルb，tを用いて表せ．
(2)線分ABと線分OCの交点をDとする．ベクトルODをベクトルa，ベクトルb，tを用いて表・・・

　国立 広島大学 2015年 第4問

α,βはα＞0，β＞0，α+β＜1を満たす実数とする．三つの放物線
C1:y=x(1-x),C2:y=x(1-β-x),C3:y=(x-α)(1-x)
を考える．C2とC3の交点のx座標をγとする．また，C1，C2，C3で囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)γをα,βを用いて表せ．
(2)Sをα,βを用いて表せ．
(3)α,βがα+β=1/4を満たしながら動くとき，Sの最大値を求めよ・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第2問

nを正の整数とする．2nπ≦x≦(2n+1)πの範囲で関数f(x)=xsinxを考える．関数f(x)が極大値をとるxをanとし，曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする．次の問いに答えよ．
(1)anとbnはそれぞれ唯1つあって，2nπ＜bn＜2nπ+π/2＜an＜(2n+1)πを満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
(1)\lim_{n→∞}(an-2nπ)\qquad(2)\lim_{n→∞}(bn-2nπ)\qquad(3)\lim_{n→∞}f(bn)
(3)曲線y=f・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第4問

四面体OAPQにおいて，∠AOP=∠AOQ=∠POQ={60}°，OA=1，OP=p，OQ=qとし，頂点Aから平面OPQに下ろした垂線をAHとする．ただし，p≦qとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルAP・ベクトルAQをp,qを用いて表せ．
(2)AHの長さを求めよ．
(3)p+q=3，および△APQの面積が1のとき，以下の値を求めよ．
(1)pq\qquad(2)p\qquad(3)　四面体　\t・・・

　国立 岡山大学 2015年 第2問

3辺の長さがAB=3，BC=5，CA=7の三角形ABCがある．辺AB，BC，CA上の点P，Q，Rを，AP=BQ=CR=xとなるようにとる．ただし，0＜x＜3である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∠ABCの値を求めよ．
(2)三角形BPQの面積をxの式で表せ．
(3)三角形PQRの面積が最小となるときのxの値を求めよ．

　国立 岡山大学 2015年 第4問

2次関数y=f(x)のグラフは，上に凸であり，原点および点Q(a,0)を通るものとする．ただし，0＜a＜1である．関数y=x2のグラフをC，関数y=f(x)のグラフをDとし，CとDの共有点のうち，原点と異なるものをPとする．点PにおけるCの接線の傾きをm，Dの接線の傾きをnとするとき
(2a-1)m=2an
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)をxとaの式で表せ．
(2)0≦x≦aの範囲で，曲線Dとx軸で囲まれた図形の面積をS(a)とする．S(a)・・・

　国立 金沢大学 2015年 第1問

平面上の三角形ABCで，|ベクトルAB|=7，|ベクトルBC|=5，|ベクトルAC|=6となるものを考える．また，三角形ABCの内部の点Pは，
ベクトルPA+sベクトルPB+3ベクトルPC=ベクトル0(s＞0)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAP=αベクトルAB+βベクトルACとするとき，αとβをsを用いて表せ．
(2)2直線AP，BCの交点をDとするとき，\frac{|ベクトルBD|}{|ベクトルDC|}と\frac{|ベクトルAP|}{|\v・・・