「面積」について

　国立 金沢大学 2015年 第2問

a,bは定数で，ab＞0とする．放物線C1:y=ax2+b上の点P(t,at2+b)における接線をℓとし，放物線C2:y=ax2とℓで囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)ℓとC2のすべての交点のx座標を求めよ．
(3)点PがC1上を動くとき，Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ．

　国立 岡山大学 2015年 第3問

自然数n=1,2,3,・・・に対して，関数fn(x)=x^{n+1}(1-x)を考える．
(1)曲線y=fn(x)上の点(an,fn(an))における接線が原点を通るとき，anをnの式で表せ．ただし，an＞0とする．
(2)0≦x≦1の範囲で，曲線y=fn(x)とx軸とで囲まれた図形の面積をBnとする．また，(1)で求めたanに対して，0≦x≦anの範囲で，曲線y=fn(x)，x軸，および直線x=anで囲まれた図形の面積をCnとする．BnおよびCnをnの式で表せ．
(3)(2)で求めたBnおよび・・・

　国立 岡山大学 2015年 第4問

座標空間内の8点
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)
を頂点とする立方体を考える．0＜t＜3のとき，3点(t,0,0)，(0,t,0)，(0,0,t)を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積をf(t)とし，f(0)=f(3)=0とする．関数f(t)について，次の問いに答えよ．
(1)0≦t≦3のとき，f(t)をtの式で表せ．
(2)関数f(t)の0≦t≦3における最大値を求めよ．
(3)定積分∫・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x≧1のとき，不等式2√x＞1+logxが成り立つことを証明せよ．
(2)関数y=xlogx(x＞0)のグラフを曲線Cとする．定数aに対し，曲線Cの接線で点(a,0)を通るものは何本あるか．
(3)(2)で定められた曲線Cとその傾き2の接線および直線x=e^{-2}で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第1問

xy平面において，次の式が表す曲線をCとする．
x2+4y2=1,x＞0,y＞0
PをC上の点とする．PでCに接する直線をℓとし，Pを通りℓと垂直な直線をmとして，x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする．PがC上の点全体を動くとき，Sの最大値とそのときのPの座標を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．n=1,2,3,・・・に対し，座標平面の3点
(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}a}),((2n+1)π,0)
を頂点とする三角形の面積をAnとし，
Bn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{xa}dx,\qquadCn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin2x}{xa}dx
とおく．
(1)n=1,2,3,・・・に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{2}{・・・

　国立 九州大学 2015年 第1問

座標平面上の2つの放物線
\begin{array}{rcl}
C1&:&y=x2\
C2&:&y=-x2+ax+b\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}
を考える．ただし，a,bは実数とする．
(1)C1とC2が異なる2点で交わるためのa,bに関する条件を求めよ．
以下，a,bが(1)の条件を満たすとし，C1とC2で囲まれる部分の面積が9であるとする．
(2)bをaを用いて表せ．
(3)aがすべての実数値をとって変化するとき，放物線C2の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

　国立 九州大学 2015年 第2問

1辺の長さが1である正四面体OABCを考える．辺OAの中点をP，辺OBを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)線分PQの長さと線分PRの長さを求めよ．
(2)ベクトルPQとベクトルPRの内積ベクトルPQ・ベクトルPRを求めよ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

f(x)=x2-2x+2とする．放物線y=f(x)上の点P(p,f(p))における接線をℓ1とし，放物線y=f(x)上の点Q(p+1,f(p+1))における接線をℓ2とする．2直線ℓ1，ℓ2の交点をRとする．ただしpは定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1,ℓ2の方程式をそれぞれpを用いて表せ．
(2)交点Rの座標をpを用いて表せ．
(3)放物線y=f(x)と2直線ℓ1,ℓ2とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第3問

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周C上の点をA(a,b)とし，f(x)=(x-a)2+bとする．点B(0,-2)から放物線y=f(x)に引いた接線をℓ1，ℓ2とし，接点をそれぞれP(p,f(p))，Q(q,f(q))とする．ただしp＜qである．放物線y=f(x)と2直線ℓ1，ℓ2とで囲まれた部分の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓ1の方程式と接点Pの座標，および接線ℓ2の方程式と接点Qの座標をa,bを用いて表せ．
(2)面積S・・・