「面積」について

　国立 横浜国立大学 2015年 第3問

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCがあり，
2ベクトルOA+3ベクトルOB+4ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．この円上に点Pがあり，線分ABと線分CPは直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBと|ベクトルAB|をそれぞれ求めよ．
(2)線分ABと線分CPの交点をHとするとき，AH:HBを求めよ．
(3)四角形APBCの面積を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2015年 第2問

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCがあり，
2ベクトルOA+3ベクトルOB+4ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．この円上に点Pがあり，線分ABと線分CPは直交している．次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBと|ベクトルAB|をそれぞれ求めよ．
(2)線分ABと線分CPの交点をHとするとき，AH:HBを求めよ．
(3)四角形APBCの面積を求めよ．

　国立 東京工業大学 2015年 第3問

a＞0とする．曲線y=e^{-x2}とx軸，y軸，および直線x=aで囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする．
(1)Aの体積Vを求めよ．
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき，不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ．
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ．

　国立 静岡大学 2015年 第1問

関数f(x)=x3-9x2+24xについて，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)kを定数とするとき，曲線y=f(x)と直線y=kxの共有点の個数を調べよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=6xで囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 静岡大学 2015年 第2問

△ABCにおいて，ベクトルAB=ベクトルb，ベクトルAC=ベクトルcとおき，|ベクトルb|=1，|ベクトルc|=√3，ベクトルb・ベクトルc=1であるとする．辺BCを1:2に内分する点をD，線分ADに関してBと対称な点をE，直線AEと辺BCの交点をFとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積S1を求めよ．
(2)ベクトルAEをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(3)ベクトルAFをベクトルb・・・

　国立 静岡大学 2015年 第1問

△ABCにおいて，ベクトルAB=ベクトルb，ベクトルAC=ベクトルcとおき，|ベクトルb|=1，|ベクトルc|=√3，ベクトルb・ベクトルc=1であるとする．辺BCを1:2に内分する点をD，線分ADに関してBと対称な点をE，直線AEと辺BCの交点をFとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積S1を求めよ．
(2)ベクトルAEをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(3)ベクトルAFをベクトルb・・・

　国立 熊本大学 2015年 第1問

aを実数とする．曲線C1:y=x2上の点(a,a2)における接線をℓとする．曲線C2をy=x2-1とする．以下の問いに答えよ．
(1)ℓとC2とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)a=\frac{1}{√2}とする．曲線C3:y=-x2+1とC2とで囲まれた部分はℓによって2つの部分に分けられる．これらのうち，点(0,1/2)を含む部分の面積を求めよ．

　国立 香川大学 2015年 第3問

2次関数y=f(x)のグラフは，点(3/2a,-a)を頂点とし，点(a,0)を通る放物線である．ただし，a≠0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2次関数y=f(x)をaを用いて表せ．
(2)a＞0とするとき，放物線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積S(a)を，積分を計算することによって求めよ．
(3)S(2n)＞7^{10}となる最小の自然数nを求めよ．必要であれば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}7=0.8451を用いてもよい．

　国立 琉球大学 2015年 第2問

頂点が点A(0,4)で，点B(2,0)を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．
(1)この放物線をグラフとする2次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，x座標が2a(a＞0)である点をCとする．この放物線とx軸との交点で，点Bと異なる点をDとする．点Cにおける放物線の接線ℓ1と点Dにおける放物線の接線ℓ2との交点Eの座標を，aを使って表せ．
(3)この放物線と直線ℓ2，および点Eを通りy軸に平行な直線で囲まれた部・・・

　国立 香川大学 2015年 第4問

2次関数y=f(x)のグラフは，点(3/2a,-a)を頂点とし，点(a,0)を通る放物線である．ただし，a≠0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2次関数y=f(x)をaを用いて表せ．
(2)a＞0とするとき，放物線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積S(a)を，積分を計算することによって求めよ．
(3)S(2n)＞7^{10}となる最小の自然数nを求めよ．必要であれば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}7=0.8451を用いてもよい．