「領域」について

　国立 東京大学 2015年 第1問

正の実数aに対して，座標平面上で次の放物線を考える．
C:y=ax2+\frac{1-4a2}{4a}
aが正の実数全体を動くとき，Cの通過する領域を図示せよ．

　国立 東京大学 2015年 第3問

ℓを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の3条件(i)，(ii)，(iii)で定まる円C1，C2を考える．
(i)円C1，C2は2つの不等式x≧0，y≧0で定まる領域に含まれる．
(ii)円C1，C2は直線ℓと同一点で接する．
(iii)円C1はx軸と点(1,0)で接し，円C2はy軸と接する．
円C1の半径をr1，円C2の半径をr2とする．8r1+9r2が最小となるような直線ℓの・・・

　国立 京都大学 2015年 第1問

2つの関数y=sin(x+π/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦π/2の部分で囲まれる領域を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第1問

C1，C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．
C1:y=-x2+2x,0≦x≦2
C2:y=-x2-2x,-2≦x≦0
また，aを実数とし，直線y=a(x+4)をℓとする．
(1)直線ℓとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ．
以下，aが(1)の条件を満たすとする．このとき，ℓとC1で囲まれた領域の面積をS1，x軸とC2で囲まれた領域でℓの下側にある部分の面積をS2とする・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

xy平面において，3次関数y=x3-xのグラフをCとし，不等式
x3-x＞y＞-x
の表す領域をDとする．また，PをDの点とする．
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ．
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2015年 第3問

実数aに対し，xy平面上の放物線C:y=(x-a)2-2a2+1を考える．次の問いに答えよ．
(1)aがすべての実数を動くとき，Cが通過する領域を求め，図示せよ．
(2)aが-1≦a≦1の範囲を動くとき，Cが通過する領域を求め，図示せよ．

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
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　国立 愛媛大学 2015年 第3問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・