「領域」について

　国立 信州大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2+(2a-1)x+a2-3a-4=0が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数aの値の範囲を求めよ．
(2)不等式|2sin(x+y)|≧1の表す点(x,y)の領域を，0≦x≦π,0≦y≦πの範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A(2,5)，B(1,3)，P1(5,1)をとる．まず，点P1と点Aの中点をQ1，点Q1と点Bの中点をP2とする．次に，点P2と点Aの中点をQ2，点Q2と点Bの中点をP3とする．以下同様に繰り返し，点Pnと点Aの中点・・・

　国立 千葉大学 2010年 第5問

放物線y=x2と直線y=ax+bによって囲まれる領域を
D={(x,y)\;|\;x2≦y≦ax+b}
とし，Dの面積が9/2であるとする．座標平面上で，x座標，y座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)a=0のとき，Dに含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)a,bが共に整数であるとき，Dに含まれる格子点の個数は，a,bの値によらず一定であることを示せ．

　国立 名古屋大学 2010年 第1問

xy平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．
\mon[(a)]対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)]直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)]Aのy座標は，B，C，Dのy座標より大きい．
このとき，a＞0,b＞0として，辺ABの長さを2√5a，BCの長さを2√5bとおく．
(1)A，B，C，Dの座標をa,bで表せ．
(2)長方形ABCDが領域x2+(y-5)2≦100に含まれるためのa,bに対する条件を求め，ab平面上に図示せよ．

　国立 琉球大学 2010年 第3問

点(a,b)を通り曲線y=x3-xに接するような異なる3本の直線が存在するための実数a,bが満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点(a,b)の存在する領域を図示せよ．

　国立 長崎大学 2010年 第1問

a,bは実数で，a＞1とする．tの関数
f(t)=2t3-3(a+1)t2+6at+b
について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(t)の極値を，a,bを用いて表せ．
(2)aの値をx座標，bの値をy座標とするxy平面上の点P(a,b)を考える．このとき，3次方程式f(t)=0が相異なる3つの実数解をもつような点P(a,b)の存在する領域Dをxy平面上に図示せよ．
(3)DおよびDの境界からなる領域をEとする．領域Eのうち，
y≦-x2+4x-11
を満たす部分の面積を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第2問

座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をαt(P)，その外部の領域をβt(P)で表す．ただし，立方体および正八・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
&&C1:(x+1)2+(y-1)2=1\nonumber\\
&&C2:(x-1)2+(y-1)2=1\nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式y＞2が表す領域D内に点P(a,b)をとる．点Pから円C1,C2にひいた接線とx軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように△PABは円C1,C2をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)bを定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのはa=0のときであることを示せ．
(2)点Pが領域D内を動くとき，△PABの面積・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)直線2x+y=16・・・・・・①,2x+3y=24・・・・・・②のx切片とy切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線①と②との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式2x+y≦16,2x+3y≦24,x≧0,y≧0の表す領域をFとする．Fの面積を求めよ．
(4)点(x,y)が(3)で定めた領域Fを動くとき，x+yの最大値と最小値を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問

xy平面において，次の円Cと楕円Eを考える．
\begin{eqnarray}
&&C:x2+y2=1\nonumber\\
&&E:x2+\frac{y2}{2}=1\nonumber
\end{eqnarray}
また，C上の点P(s,t)におけるCの接線をℓとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)ℓの方程式をs,tを用いて表せ．
以下，t＞0とし，Eがℓから切り取る線分の長さをLとする．
(2)Lをtを用いて表せ．
(3)Pが動くとき，Lの最大値を求めよ．
(4)Lが(3)で求めた最大値をとるとき，ℓとEが囲む領・・・

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第2問

座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をαt(　P　)，その外部の領域をβt(　P　)で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答え・・・