浜松医科大学
2011年 医学部 第2問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第2問
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医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物A，B，Cを題材にして，以下の問題を考察する．(1)動物A，Bを生育するには，3種類の栄養素p,q,rが必要である．生育量（単位kg）と栄養素の量は，ともに実数で示される．（条件a）Aをx\;kg生育するには，pが5x，qが5x，rがxの量，同時に必要である．Aの販売価格は10万円/kgである．（条件b）Bをy\;kg生育するには，pが4y，qがy，rが2yの量，同時に必要である．Bの販売価格は5万円/kgである．手持ちの栄養素は今，pが5，qが4，rが2の量であると仮定する．このとき，A，Bをそれぞれ何kg生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときのA，Bの生育量をそれぞれ求めよ．(2)動物A，Bに加えて，動物Cもp,q,rの栄養素によって生育できることがわかる．（条件c）Cをz\;kg生育するには，pが2z，qが3z，rがzの量，同時に必要である．Cの販売価格は8万円/kgである．手持ちの栄養素は今，pが5，qが4の量であるが，(1)の場合と違ってrはいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い(i),(ii),(iii)に答えよ．(i)Cの生育量z\;kgは，z=k(0≦k≦11/10)として値を固定し，A，Bの生育量をそれぞれx\;kg，y\;kgとして変化させる．このとき，点(x,y)の動く領域D(k)を図示せよ．さらに，(x,y)がこの領域を動くとき，販売額の最大値をw(k)とかく．w(k)をkの式で表せ．(ii)Cの生育量z=kを，0≦k≦11/10の範囲から11/10≦k≦4/3の範囲に変更する．このとき，点(x,y)の動く領域D(k)および販売額の最大値w(k)はどうなるか，調べよ．(iii)A，B，Cをそれぞれ何kg生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときのA，B，Cの生育量をそれぞれ求めよ．
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