茨城大学
2015年 理学部 第1問

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  4. 2015年 - 理学部 - 第1問
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f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．(2)正の実数aに対して，I_a=∫_0^1xe^{-ax}dx，J_a=∫_0^1x^2e^{-ax}dxとおく．J_aをI_aとaを用いて表せ．(3)定積分∫_0^1f(x)dxおよび∫_0^1{f(x)}^2dxを求めよ．(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，x=1およびy=tで囲まれた図形を，直線y=tを軸として1回転させてできる回転体の体積をV(t)とする．tを動かしたとき，V(t)の最小値とそのときのtの値を求めよ．
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