早稲田大学
2014年 教育 第4問

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  4. 2014年 - 教育 - 第4問
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2個以上の正の整数を要素とする有限集合をAとする．Aのどの2数も一方が他方を割り切るときAは良い集合であるといい，Aのどの2数も互いに他を割り切らないときAは悪い集合であるという．また，Aの良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，\max{n(B)\;|\;B\subsetA,n(B)≧2　かつ　B　は良い集合　}をAの最良数と定義し，Aの悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，\max{n(B)\;|\;B\subsetA,n(B)≧2　かつ　B　は悪い集合　}をAの最悪数と定義する．たとえば，A={2,3,5,7,11,14,15,77,154,225,231,308}のとき，Aの良い部分集合は{7,77,231}，{7,14,154,308}，{11,77,154,308}などであり，Aの最良数は4である．また，Aの悪い部分集合は{231,308}，{14,15,77}，{2,7,11,15}，{2,3,5,7,11}などであり，Aの最悪数は5である．kを2以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．(1)n(A)=k^2で，かつ最良数も最悪数もkである集合Aが存在することを証明せよ．(2)n(A)≧k^2+1ならば，Aの最良数またはAの最悪数のどちらかはk+1以上であることを証明せよ．(3)要素数が2014で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，n(A)=2014　かつ　(A　の最良数　)=(A　の最悪数　)を満たす集合Aを考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．
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