秋田大学
2016年 医学部 第3問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第3問
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b＞0，a=2√3bとし，原点をOとする座標平面上の楕円\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1をEとする．楕円E上の点P(x,y)の媒介変数表示はx=acosθ，y=bsinθ(0≦θ＜2π)で与えられる．次の問いに答えよ．(1)点Pで楕円Eと共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}≧1の表す領域内にある円をCとする．円Cの半径をr(θ)とするとき，Cの中心をθとr(θ)を用いて表せ．(2)2d=11bとし，4つの頂点が(d,d)，(-d,d)，(-d,-d)，(d,-d)である正方形Fを考える．点Pが楕円E上を動くとき，(1)の円Cの中心は正方形Fの周上を動くとする．このとき，0≦θ≦π/2に対して，Cの半径r(θ)を求めよ．(3)(2)のr(θ)の0≦θ≦π/2における最大値は\frac{5√5}{2}bであることを示せ．
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