旭川医科大学
2018年 医学部 第3問

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  4. 2018年 - 医学部 - 第3問
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aは実数でa＞1とし，曲線y=logx上に2点A(a,loga)，B(1/a,log1/a)をとる．直線ABと曲線y=logxで囲まれた部分の面積をSとし，直線AB，x軸，直線x=1/aおよび直線x=aで囲まれた部分の面積をTとする．このとき，次の各問いに答えよ．(1)S,Tをaを用いて表せ．(2)次の極限値を求めよ．ただし，(iii)において必要であればx＞0　のとき，　log(1+x)＜x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}が成り立つことを証明なしに用いてよい．\begin{array}{lll}(i)\lim_{a→∞}S/T&&(ii)\lim_{a→1+0}\frac{T}{(a-1)^2}\\(iii)\lim_{a→1+0}\frac{S}{(a-1)^2}&&\tokeishi\lim_{a→1+0}S/T\end{array}(3)a＞1の範囲で，S/Tは単調に増加することを示せ．(4)S=Tとなるaがe^{3/2}＜a＜e^{2}の範囲に唯1つあることを示せ．ただし，eは自然対数の底でe=2.7182・・・である．
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