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平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている.辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとし,s=\frac{a+b+c}{2}とおく.さらに,辺BC,CA,ABをそれぞれs-c:s-b,s-a:s-c,s-b:s-aに内分する点をX,Y,Zとする.また,Oを原点とする.次の問いに答えよ.(1)点NをベクトルON=\frac{(s-a)ベクトルOA+(s-b)ベクトルOB+(s-c)ベクトルOC}{s}と定義するとき,3直線AX,BY,CZはNで交わることを示せ.(2)Pを△ABCの内部の点,△PBC,△PCA,△PABの面積をそれぞれS_A,S_B,S_Cとするとき,ベクトルOP=\frac{S_AベクトルOA+S_BベクトルOB+S_CベクトルOC}{S_A+S_B+S_C}と表される.このことを用いて,△ABCの外心をQとするとき,ベクトルOQをベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOC,a,b,cを用いて表せ.(3)△ABCの重心をGとする.点NがQとGを通る直線上にあるとき,△ABCは2等辺三角形であることを示せ.
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