旭川医科大学
2012年 医学部 第2問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第2問
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C_1を中心(0,0)，半径1の円とし，C_2を中心(0,0)，半径r＞1の円とする．ad-bc＞0を満たす行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})で表される1次変換により円C_1が円C_2に移るとする．次の問いに答えよ．(1)a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,ab+cd=0が成り立つことを示せ．(2)a=rcosθ,c=rsinθ(θ　は実数　)とおくとき，b,dをr,θを用いて表せ．(3)B=1/r(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})とする．また，C_1に外接し，C_2に内接する8個の相異なる円S_1,S_2,・・・,S_8が次の3条件(i),(ii),(iii)を満たしているとする．このとき，rを求めよ．(i)行列Bで表される1次変換によりS_i(i=1,2,・・・,7)はS_{i+1}に，S_8はS_1に移る．(ii)S_{i+1}(i=1,2,・・・,7)はS_iに外接し，S_8はS_1にも外接する．(iii)S_1はS_3,S_4,・・・,S_7と交わらない．
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