センター試験
2015年 数学IIB 第1問
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![\kagiichiOを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ,2sinθ)，Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を考える．ただし，π/8≦θ≦π/4とする．(1)OP=[ア]，PQ=[イ]である．またOQ^2=[ウ]+[エ](cos7θcosθ+sin7θsinθ)=[ウ]+[エ]cos([オ]θ)である．よって，π/8≦θ≦π/4の範囲で，OQはθ=\frac{π}{[カ]}のとき最大値\sqrt{[キ]}をとる．(2)3点O，P，Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう．直線OPを表す方程式は[ク]である．[ク]に当てはまるものを，次の\nagamarurei～\nagamarusanのうちから一つ選べ．\begin{array}{lll}\nagamarurei(cosθ)x+(sinθ)y=0&&\nagamaruichi(sinθ)x+(cosθ)y=0\\nagamaruni(cosθ)x-(sinθ)y=0&&\nagamarusan(sinθ)x-(cosθ)y=0\end{array}このことにより，π/8≦θ≦π/4の範囲で，3点O，P，Qが一直線上にあるのはθ=\frac{π}{[ケ]}のときであることがわかる．(3)∠OQPが直角となるのはOQ=\sqrt{[コ]}のときである．したがって，π/8≦θ≦π/4の範囲で，∠OQPが直角となるのはθ=\frac{[サ]}{[シ]}πのときである．\mon[\kagini]a,bを正の実数とする．連立方程式(*){\begin{array}{l}x\sqrt{y^3}=a\\sqrt[3]{x}y=b\end{array}.を満たす正の実数x,yについて考えよう．\mon[(1)]連立方程式(*)を満たす正の実数x,yはx=a^{\mkakko{ス}}b^{[セソ]},y=a^pb^{\mkakko{タ}}となる．ただしp=\frac{[チツ]}{[テ]}である．\mon[(2)]b=2\sqrt[3]{a^4}とする．aがa＞0の範囲を動くとき，連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて，x+yの最小値を求めよう．b=2\sqrt[3]{a^4}であるから，(*)を満たす正の実数x,yは，aを用いてx=2^{[セソ]}a^{[トナ]},y=2^{\mkakko{タ}}a^{\mkakko{ニ}}と表される．したがって，相加平均と相乗平均の関係を利用すると，x+yはa=2^qのとき最小値\sqrt{[ヌ]}をとることがわかる．ただしq=\frac{[ネノ]}{[ハ]}である．](./thumb/9999/2951/2015_1.png?1)
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