センター試験
2015年 数学IIB 第4問
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![1辺の長さが1のひし形OABCにおいて，∠AOC={120}°とする．辺ABを2:1に内分する点をPとし，直線BC上に点QをベクトルOP⊥ベクトルOQとなるようにとる．以下，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．(1)三角形OPQの面積を求めよう．ベクトルOP=\frac{[ア]}{[イ]}ベクトルa+\frac{[ウ]}{[イ]}ベクトルbである．実数tを用いてベクトルOQ=(1-t)ベクトルOB+tベクトルOCと表されるので，ベクトルOQ=[エ]tベクトルa+ベクトルbである．ここで，ベクトルa・ベクトルb=\frac{[オ]}{[カ]}，ベクトルOP・ベクトルOQ=[キ]であることから，t=\frac{[ク]}{[ケ]}である．これらのことから，|ベクトルOP|=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}，|ベクトルOQ|=\frac{\sqrt{[シス]}}{[セ]}である．よって，三角形OPQの面積S_1は，S_1=\frac{[ソ]\sqrt{[タ]}}{[チツ]}である．(2)辺BCを1:3に内分する点をRとし，直線ORと直線PQとの交点をTとする．ベクトルOTをベクトルaとベクトルbを用いて表し，三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう．Tは直線OR上の点であり，直線PQ上の点でもあるので，実数r,sを用いてベクトルOT=rベクトルOR=(1-s)ベクトルOP+sベクトルOQと表すと，r=\frac{[テ]}{[ト]}，s=\frac{[ナ]}{[ニ]}となることがわかる．よって，ベクトルOT=\frac{[ヌネ]}{[ノハ]}ベクトルa+\frac{[ヒ]}{[フ]}ベクトルbである．上で求めたr,sの値から，三角形OPQの面積S_1と，三角形PRTの面積S_2との比は，S_1:S_2=[ヘホ]:2である．](./thumb/9999/2951/2015_4.png?1)
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