中央大学
2012年 理工（理数選抜） 第4問

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  4. 2012年 - 理工（理数選抜） - 第4問
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f(x)=sin(log1/x)(0＜x≦1)とおく．f(x)=0となるすべてのxを，大きい順にa_0,a_1,a_2,・・・とする．以下の問いに答えよ．(1)a_n(n=0,1,2,・・・)を求めよ．(2)正の定数a,bに対しd/dx(Ae^{-ax}cosbx+Be^{-ax}sinbx)=e^{-ax}cosbxを満たす定数A,Bを求め，不定積分∫e^{-ax}cosbxdxを求めよ．(3)b_n=∫_{a_{n+1}}^{a_n}{f(x)}^2dx(n=0,1,2,・・・)を，t=log1/xとおくことにより求めよ．(4)(3)で得られた数列{b_n}に対し，無限級数Σ_{n=0}^∞b_nの和を求めよ．
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