中央大学
2012年 理工（一般） 第2問

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  4. 2012年 - 理工（一般） - 第2問
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を2度以上用いてもよい．aを1より大きい実数とする．xy平面において，x軸，y軸，直線x=1と曲線y=a^xで囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．nを自然数とし，k=1,2,・・・,nとする．また，f(x)は0≦x≦1においてf(x)＞0を満たす連続関数とする．(1)4点(\frac{k-1}{n},0)，(k/n,0)，(k/n,f(k/n))，(\frac{k-1}{n},f(\frac{k-1}{n}))を頂点にもつ台形の面積をM_kとする．このときM_k=[キ]となる．とくにf(x)=a^xであれば，面積の和S_n=M_1+M_2+・・・+M_nは[ク]となる．ここで，極限\lim_{x→0}\frac{a^x-1}{x}=[ケ]を用いると，\lim_{n→∞}S_n=[コ]と計算される．(2)以下では，曲線y=f(x)は下に凸とする．3点(\frac{k-1}{n},f(\frac{k-1}{n}))，(\frac{2k-1}{2n},f(\frac{2k-1}{2n}))，(k/n,f(k/n))を通る放物線をC_k:y=α(x-\frac{2k-1}{2n})^2+β(x-\frac{2k-1}{2n})+γ(α,β,γ　は定数　)とおく．x軸，直線x=\frac{k-1}{n}，直線x=k/nと放物線C_kで囲まれる部分の面積をN_kとおくとき，N_k=[サ]となる．とくにf(x)=a^xであれば，面積の和N_1+N_2+・・・N_nは[シ]となる．\begin{itemize}ケ，コの解答群\begin{array}{lllll}\maruae^a\phantom{AA}&\marube^{-a}\phantom{AA}&\maruc\frac{e^a}{a-1}\phantom{AA}&\marud(a-1)e^a\phantom{AA}&\marue(a-1)e^{-a}\\\marufloga&\marug\frac{1}{loga}&\maruh\frac{loga}{a-1}&\marui\frac{a-1}{loga}&\maruj(a-1)loga\end{array}キ，サの解答群\mon[\marua]1/n{f(\frac{k-1}{n})+f(k/n)}\mon[\marub]1/2n{f(\frac{k-1}{n})+f(k/n)}\mon[\maruc]1/3n{f(\frac{k-1}{n})+f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\marud]1/4n{f(\frac{k-1}{n})+2f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\marue]1/5n{f(\frac{k-1}{n})+3f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\maruf]1/6n{f(\frac{k-1}{n})+4f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}ク，シの解答群\begin{array}{ll}\marua\frac{(a^n-1)√a}{n(a-1)}\phantom{AA}&\marub\frac{a^{1/2n}(a-1)}{n(a^{1/n}-1)}\\\maruc\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)}\phantom{AA}&\marud\frac{(a^{1/n}+1)(a-1)}{n(a^1/n-1)}\\\marue\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)}&\maruf\frac{(a^{1/n}+1)(a-1)}{2n(a^{1/n}-1)}\\\marug\frac{(a^{1/n}+a^{1/2n}+1)(a-1)}{n(a^1/n-1)}&\maruh\frac{(a^{1/n}+a^{1/2n}+1)(a-1)}{3n(a^1/n-1)}\\\marui\frac{(a^{1/n}+2a^{1/2n}+1)(a-1)}{4n(a^1/n-1)}&\maruj\frac{(a+3√a+1)(a^n-1)}{5n(a-1)}\\\maruk\frac{(a^{1/n}+4a^{1/2n}+1)(a-1)}{6n(a^1/n-1)}&\end{array}\end{itemize}
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試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。
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