中央大学
2012年 理工（一般） 第4問

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  4. 2012年 - 理工（一般） - 第4問
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関数f(x)の第n次導関数を\frac{d^n}{dx^n}f(x)で表す．いま，自然数nに対して関数H_n(x)を次で定義する．H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}以下の問いに答えよ．(1)H_1(x),H_2(x),H_3(x)を求めよ．(2)導関数d/dxH_n(x)をH_n(x)とH_{n+1}(x)を用いて表せ．さらに，nに関する数学的帰納法によりH_n(x)がn次多項式（整式）であることを証明せよ．(3)n≧3のとき，定積分S_n(a)=∫_0^axH_n(x)e^{-x^2}dxをH_{n-1}(a)，H_{n-2}(a)，H_{n-2}(0)を用いて表せ．ただし，aは実数とする．(4)n=6のとき，極限値\lim_{a→∞}S_6(a)を求めよ．必要ならば，自然数kに対して\lim_{x→∞}x^ke^{-x^2}=0が成り立つことを用いてよい．
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